Çift ürün - Biproduct - Wikipedia

İçinde kategori teorisi ve uygulamaları matematik, bir çift ​​ürün sonlu bir koleksiyonun nesneler, içinde kategori ile sıfır nesne, her ikisi de bir ürün ve bir ortak ürün. İçinde ön eklemeli kategori ürün ve ortak ürün kavramları, sınırlı nesne koleksiyonları için çakışır.[1] İki ürün, sonlu bir genellemedir. modüllerin doğrudan toplamları.

Tanım

İzin Vermek C olmak kategori ile sıfır morfizm. Sonlu (muhtemelen boş) bir nesne koleksiyonu verildiğinde Bir1, ..., Birn içinde C, onların çift ​​ürün bir nesne içinde C birlikte morfizmler

  • içinde C ( projeksiyon morfizmler)
  • ( gömme morfizmler)

doyurucu

  • , kimlik morfizmi ve
  • , sıfır biçimlilik için

ve bunun gibi

  • bir ürün için ve
  • bir ortak ürün için

Ön eklemeli kategorilerde, bu son iki koşul, tanımın geri kalanından ne zaman gelir? n> 0.[2] Boş veya boş ürün her zaman bir terminal nesnesi kategoride ve boş ortak ürün her zaman bir ilk nesne kategorisinde. Böylece boş veya sıfır bir çift ürün her zaman bir sıfır nesne.

Örnekler

Kategorisinde değişmeli gruplar, çift ürünler her zaman vardır ve doğrudan toplam.[3] Sıfır nesnesi önemsiz grup.

Benzer şekilde, çift ürünler vektör uzayları kategorisi üzerinde alan. İki ürün yine doğrudan toplamdır ve sıfır nesnesi önemsiz vektör uzayı.

Daha genel olarak, çift ürünler modül kategorisi üzerinde yüzük.

Öte yandan, çift ürünler grup kategorisi.[4] Burada ürün, direkt ürün, ancak ortak ürün bedava ürün.

Ayrıca, iki ürün de mevcut değildir. kümeler kategorisi. Çünkü ürün, Kartezyen ürün ortak ürün ise ayrık birlik. Bu kategorinin sıfır nesnesi yoktur.

Blok matrisi cebir, kategorilerdeki iki ürüne dayanır matrisler.[5]

Özellikleri

Çift ürün tüm nesne çiftleri için mevcuttur Bir ve B kategoride C, ve C sıfır nesneye sahipse, tüm sonlu çift ürünler var olur, C hem bir Kartezyen monoidal kategori ve bir eş-Kartezyen monoidal kategori.

Ürün ve ortak ürün her ikisi de bazı nesneler için mevcuttur Bir1, Bir2 o zaman benzersiz bir morfizm var öyle ki

  • için [açıklama gerekli ]

Bunu, iki ürünün ancak ve ancak f bir izomorfizm.

Eğer C bir ön eklemeli kategori, o zaman her sonlu ürün bir çift üründür ve her sonlu ortak ürün bir çift üründür. Örneğin, eğer var, sonra benzersiz morfizmler var öyle ki

  • için

Görmek için şimdi aynı zamanda bir ortak ürün ve dolayısıyla bir çift ürün, varsayalım ki morfizmlerimiz var bazı nesneler için . Tanımlamak Sonra bir morfizm -e , ve için .

Bu durumda biz her zaman

Bir katkı kategorisi bir ön eklemeli kategori içinde tüm sonlu çift ürünlerin var olduğu. Özellikle, çift ürünler her zaman değişmeli kategoriler.

Referanslar

  1. ^ Borceux, 4-5
  2. ^ Saunders Mac Lane - Çalışan Matematikçi Kategorileri, İkinci Baskı, sayfa 194.
  3. ^ Borceux, 8
  4. ^ Borceux, 7
  5. ^ H.D. Macedo, J.N. Oliveira, Doğrusal cebir yazma: İki ürün odaklı bir yaklaşım, Bilgisayar Programlama Bilimi, Cilt 78, Sayı 11, 1 Kasım 2013, Sayfa 2160-2191, ISSN  0167-6423, doi:10.1016 / j.scico.2012.07.012.