Choquet integral - Choquet integral

Bir Choquet integral bir alt katkı veya aşırı katkı Fransız matematikçi tarafından oluşturulan integral Gustave Choquet 1953'te.^[1] Başlangıçta kullanıldı Istatistik mekaniği ve potansiyel teori,^[2] ama yolunu buldu karar teorisi 1980'lerde,^[3] beklenen değeri ölçmenin bir yolu olarak kullanıldığı yerde Yarar belirsiz bir olayın. Özel olarak uygulanır üyelik fonksiyonları ve kapasiteler. İçinde kesin olmayan olasılık teorisi Choquet integrali ayrıca 2-monotonluktan kaynaklanan düşük beklentiyi hesaplamak için kullanılır. daha düşük olasılık veya 2-alternatifin neden olduğu üst beklenti yüksek olasılık.

Kapasitelerle ölçülen inanç fonksiyonlarının beklenen faydasını belirtmek için Choquet integralini kullanmak, Ellsberg paradoksu ve Allais paradoksu.^[4][5]

Tanım

Aşağıdaki gösterim kullanılır:

• ${displaystyle S}$ - bir set.
• ${displaystyle {mathcal {F}}}$ - alt kümelerinden oluşan bir koleksiyon ${displaystyle S}$.
• ${displaystyle f: S o mathbb {R}}$ - bir işlev.
• ${displaystyle u: {mathcal {F}} o mathbb {R} ^ {+}}$ - bir monoton işlev ayarla.

Varsayalım ki ${displaystyle f}$ göre ölçülebilir ${displaystyle {mathcal {F}}}$, yani

${{mathcal {F}} içinde {displaystyle forall xin mathbb {R} kolon {s | f (s) geq x}}$

Sonra Choquet integrali ${displaystyle f}$ göre ${displaystyle u}$ şu şekilde tanımlanır:

${displaystyle (C) int fdu: = int _ {- infty} ^ {0} (u ({s | f (s) geq x}) - u (S)), dx + int _ {0} ^ {infty } u ({s | f (s) geq x}), dx}$

sağ taraftaki integrallerin olağan olduğu yer Riemann integrali (integrandler integrallenebilir çünkü bunlar tekdüzedir ${displaystyle x}$).

Özellikleri

Genel olarak Choquet integrali toplamayı karşılamaz. Daha spesifik olarak, eğer ${displaystyle u}$ bir olasılık ölçüsü değildir, bunu tutabilir

${displaystyle int f, du + int g, du eq int (f + g), du.}$

bazı işlevler için ${displaystyle f}$ ve ${displaystyle g}$.

Choquet integrali aşağıdaki özellikleri sağlar.

Monotonluk

Eğer ${displaystyle fleq g}$ sonra

${displaystyle (C) int f, du leq (C) int g, du}$

Pozitif homojenlik

Hepsi için ${displaystyle lambda geq 0}$ bunu tutar

${displaystyle (C) int lambda f, du = lambda (C) int f, du,}$

Comonoton toplamsallık

Eğer ${displaystyle f, g: Sightarrow mathbb {R}}$ komonoton işlevlerdir, yani hepsi için ${displaystyle s, s'in S}$ bunu tutar

${displaystyle (f (s) -f (s ')) (g (s) -g (s')) geq 0}$.

hangisi olarak düşünülebilir ${displaystyle f}$ ve ${displaystyle g}$ birlikte yükselmek ve düşmek

sonra

${displaystyle (C) int, fdu + (C) int g, du = (C) int (f + g), du.}$

Alt katkı

Eğer ${displaystyle u}$ 2-değişken,^{[açıklama gerekli ]} sonra

${displaystyle (C) int, fdu + (C) int g, du geq (C) int (f + g), du.}$

Süper katkı

Eğer ${displaystyle u}$ 2 tek tonludur,^{[açıklama gerekli ]} sonra

${displaystyle (C) int, fdu + (C) int g, du leq (C) int (f + g), du.}$

Alternatif temsil

İzin Vermek ${displaystyle G}$ belirtmek kümülatif dağılım fonksiyonu öyle ki ${displaystyle G ^ {- 1}}$ dır-dir ${displaystyle dH}$ entegre edilebilir. Bu durumda aşağıdaki formül genellikle Choquet Integral olarak adlandırılır:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} G ^ {- 1} (alpha) dH (alpha) = - int _ {- infty} ^ {a} H (G (x)) dx + int _ {a } ^ {infty} {hat {H}} (1-G (x)) dx,}$

nerede ${displaystyle {şapka {H}} (x) = H (1) -H (1-x)}$.

• Seç ${ekran stili H (x): = x}$ almak ${displaystyle int _ {0} ^ {1} G ^ {- 1} (x) dx = E [X]}$,
• Seç ${displaystyle H (x): = 1 _ {[alfa, x]}}$ almak ${displaystyle int _ {0} ^ {1} G ^ {- 1} (x) dH (x) = G ^ {- 1} (alfa)}$

Başvurular

Choquet integrali görüntü işleme, video işleme ve bilgisayarla görmede uygulandı. Davranışsal karar teorisinde, Amos Tversky ve Daniel Kahneman kümülatif beklenti teorisinin formülasyonunda Choquet integralini ve ilgili yöntemleri kullanır.^[6]

Ayrıca bakınız

• Doğrusal olmayan beklenti
• Süper katkı
• Alt katkı

Notlar

daha fazla okuma

• Gilboa, I .; Schmeidler, D. (1992). "Katkısız Önlemlerin Eklemeli Temsilleri ve Choquet Integral". Alıntı dergisi gerektirir | günlük = (Yardım)
• Çift, Y .; Lehrer, E. (2014). "Ayrıştırma-integral: Choquet ile içbükey integrallerin birleştirilmesi". Ekonomik teori. 56 (1): 33–58. doi:10.1007 / s00199-013-0780-0. BAY  3190759.