Dürer Konkoid - Conchoid of Dürer

Dürer'in Konkoid'i kendisi tarafından inşa edilmiştir

Dürer'in konkoid, olarak da adlandırılır Dürer'in kabuk eğrisi, bir varyantıdır konkoid veya uçak cebirsel eğri, adını Albrecht Dürer ve 1525'te tanıtıldı. Gerçek bir konkoid değil.

İnşaat

Dürer'in konkoidinin yapımı

Kesişme noktasıyla birlikte iki dik doğru verildiğini varsayalım. Ö. Somutluk için, bunların koordinat eksenleri olduğunu ve Ö başlangıç noktasıdır, yani (0, 0). Puan ver $Q = (q, 0)$ ve $R = (0, r)$ eksenler üzerinde öyle hareket edin ki $q + r = b$ sabit. Çizgide $QR$ , gerektiği kadar uzatılmış, noktaları işaretleyin $P$ ve $P '$ sabit bir mesafede $a$ itibaren $Q$ . Noktaların yeri $P$ ve $P '$ Dürer'in konkoididir.^[1]

Denklem

Konkoidin kartezyen formundaki denklemi

{displaystyle 2y ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2by ^ {2} (x + y) + (b ^ {2} -3a ^ {2}) y ^ {2} -a ^ {2} x ^ {2} + 2a ^ {2} b (x + y) + a ^ {2} (a ^ {2} -b ^ {2}) = 0.}

Parametrik formda denklem şu şekilde verilir:

{displaystyle {egin {align} x & = {frac {bcos (t)} {cos (t) -sin (t)}} + acos (t), y & = asin (t), end {hizalı}}}

parametre nerede $t$ ölçülür radyan.^[2]

Özellikleri

Eğrinin, çizgilere asimptotik olmak üzere iki bileşeni vardır. ${displaystyle y = pm a / {sqrt {2}}}$ .^[3] Her bileşen bir rasyonel eğri. Eğer a > b bir döngü varsa a = b (0,a).

Özel durumlar şunları içerir:

a = 0: çizgi y = 0;
b = 0: çizgi çifti ${displaystyle y = pm a / {sqrt {2}}}$ daire ile birlikte ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$ ;

a = 3, b = 1, gösterilen döngü
a = 3, b = 3, sivri uç gösteriliyor
a = 3, b = 5

Yapıda kullanılan düz çizgiler zarfı bir parabol (Durer'in yukarıdaki orijinal diyagramında görüldüğü gibi) ve bu nedenle eğri bir noktadır.Glissette sırasıyla bir parabole ve onun teğetlerinden birine karşı kayan bir çizgi ve bir noktasından oluşur.^[4]

Tarih

İlk olarak Alman tarafından tanımlandı ressam ve matematikçi Albrecht Dürer (1471–1528) kitabında Underweysung der Messung (Pusula ve Cetvel ile Ölçme Talimatı s. 38) Ein muschellini (Konkoid veya Kabuk). Dürer eğrinin yalnızca bir dalını çizdi.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Lawrence, J. Dennis (1972), Özel düzlem eğrileri kataloğuDover Yayınları, s.157, ISBN 0-486-60288-5
^ "Dürer'in Conchoid". dikkat edin sabitlerin $a$ ve $b$ bu kaynakta birbiriyle değiştirildi
^ Fettis, Henry E. (1983), "Dürer'in Konkoidinin Geometrisi" (PDF), Crux Mathematicorum, 9 (2), ISSN 0705-0348
^ Lockwood, E.H. (2007) [1967], Eğriler Kitabı, Cambridge University Press, s. 164, ISBN 9780521044448

Dış bağlantılar

Weisstein, Eric W. "Dürer'in Conchoid". MathWorld.

[1] Lawrence, J. Dennis (1972), Özel düzlem eğrileri kataloğuDover Yayınları, s.157, ISBN 0-486-60288-5

[2] "Dürer'in Conchoid". dikkat edin sabitlerin $a$ ve $b$ bu kaynakta birbiriyle değiştirildi

[3] Fettis, Henry E. (1983), "Dürer'in Konkoidinin Geometrisi" (PDF), Crux Mathematicorum, 9 (2), ISSN 0705-0348

[4] Lockwood, E.H. (2007) [1967], Eğriler Kitabı, Cambridge University Press, s. 164, ISBN 9780521044448

[1]

[2]

[3]

[4]