Tutarlılık - Consistency

İçinde klasik tümdengelimli mantık, bir tutarlı teori gerektirmeyen bir çelişki.^[1] Çelişki eksikliği, anlambilimsel veya sözdizimsel terimlerle tanımlanabilir. Anlamsal tanım, bir teorinin, eğer bir model yani, bir yorumlama hangisinin altında formüller teoride doğrudur. Geleneksel olarak kullanılan anlam budur Aristoteles mantığı çağdaş matematiksel mantıkta terim tatmin edici bunun yerine kullanılır. Sözdizimsel tanım bir teori belirtir ${ displaystyle T}$ yoksa tutarlıdır formül ${ displaystyle varphi}$ öyle ki ikisi de ${ displaystyle varphi}$ ve onun olumsuzluğu ${ displaystyle lnot varphi}$ sonuçlar kümesinin unsurlarıdır ${ displaystyle T}$ . İzin Vermek ${ displaystyle A}$ bir dizi olmak kapalı cümleler (gayri resmi olarak "aksiyomlar") ve ${ displaystyle langle A rangle}$ kanıtlanabilir kapalı cümleler seti ${ displaystyle A}$ bazı (belirli, muhtemelen dolaylı olarak) resmi tümdengelim sistemi altında. Aksiyomlar kümesi ${ displaystyle A}$ dır-dir tutarlı ne zaman ${ displaystyle varphi, varphi in langle A rangle}$ formül yok ${ displaystyle varphi}$ .^[2]

Bu anlambilimsel ve sözdizimsel tanımların belirli bir tümdengelimde formüle edilen herhangi bir teori için eşdeğer olduğu tümdengelimli bir sistem varsa mantık mantık denir tamamlayınız.^{[kaynak belirtilmeli ]} Tamlığı cümle hesabı tarafından kanıtlandı Paul Bernays 1918'de^{[kaynak belirtilmeli ]}^[3] ve Emil Post 1921'de^[4] bütünlüğü iken yüklem hesabı tarafından kanıtlandı Kurt Gödel 1930'da^[5] ve aritmetik için tutarlılık kanıtları, tümevarım aksiyom şeması Ackermann (1924), von Neumann (1927) ve Herbrand (1931) tarafından kanıtlanmıştır.^[6] Gibi daha güçlü mantık ikinci dereceden mantık, tamamlanmadı.

Bir tutarlılık kanıtı bir matematiksel kanıt belirli bir teorinin tutarlı olduğunu.^[7] Matematikselliğin erken gelişimi kanıt teorisi tüm matematiğin bir parçası olarak sonlu tutarlılık kanıtları sağlama arzusundan kaynaklandı. Hilbert'in programı. Hilbert'in programı, eksiklik teoremleri, yeterince güçlü kanıt teorilerinin kendi tutarlılıklarını kanıtlayamayacaklarını gösterdi (aslında tutarlı olmaları koşuluyla).

Tutarlılık model teorisi ile kanıtlanabilse de, çoğu zaman mantığın bir modeline başvurmaya gerek kalmadan tamamen sözdizimsel bir şekilde yapılır. kesik eleme (veya eşdeğer olarak normalleştirme of temel hesap eğer varsa) analizin tutarlılığını ima eder: kesiksiz bir yanlışlık kanıtı olmadığından, genel olarak bir çelişki yoktur.

Aritmetik ve küme teorisinde tutarlılık ve tamlık

Aritmetik teorilerinde, örneğin Peano aritmetiği, teorinin tutarlılığı ile teorisinin tutarlılığı arasında karmaşık bir ilişki vardır. tamlık. Kendi dilinde her φ formülü için φ veya ¬φ'den en az biri teorinin mantıksal bir sonucuysa, bir teori tamamlanmıştır.

Presburger aritmetiği toplama altındaki doğal sayılar için bir aksiyom sistemidir. Hem tutarlı hem de eksiksiz.

Gödel'in eksiklik teoremleri yeterince güçlü olduğunu gösterin yinelemeli olarak numaralandırılabilir aritmetik teorisi hem eksiksiz hem de tutarlı olamaz. Gödel'in teoremi şu teorilere uygulanır: Peano aritmetiği (PA) ve ilkel özyinelemeli aritmetik (PRA), ama değil Presburger aritmetiği.

Dahası, Gödel'in ikinci eksiklik teoremi, yeterince güçlü yinelemeli olarak numaralandırılabilir aritmetik teorilerinin tutarlılığının belirli bir şekilde test edilebileceğini göstermektedir. Böyle bir teori, ancak ve ancak tutarlıysa tutarlıdır değil Teorinin gerçekten tutarlı olduğu iddiasının resmi bir ifadesi olan, teorinin Gödel cümlesi olarak adlandırılan belirli bir cümleyi kanıtlayın. Bu nedenle, yeterince güçlü, yinelemeli olarak numaralandırılabilir, tutarlı bir aritmetik teorisinin tutarlılığı, o sistemin kendisinde asla kanıtlanamaz. Aynı sonuç, aritmetiğin yeterince güçlü bir parçasını tanımlayabilen yinelemeli olarak numaralandırılabilir teoriler için de geçerlidir - örneğin set teorileri dahil Zermelo – Fraenkel küme teorisi (ZF). Bu set teorileri, tutarlı olmaları koşuluyla, genellikle inanıldığı gibi, kendi Gödel cümlesini kanıtlayamaz.

ZF'nin tutarlılığı ZF'de kanıtlanamadığından, daha zayıf olan kavram göreceli tutarlılık küme teorisinde (ve yeterince açıklayıcı aksiyomatik sistemlerde) ilginçtir. Eğer T bir teori ve Bir ek aksiyom, T + Bir göre tutarlı olduğu söyleniyor T (veya sadece Bir ile tutarlı T) eğer kanıtlanabilirse T o zaman tutarlı T + Bir tutarlıdır. İkisi de olursa Bir ve ¬Bir ile tutarlı T, sonra Bir olduğu söyleniyor bağımsız nın-nin T.

Birinci dereceden mantık

Gösterim

${ displaystyle vdash}$ (Turnike sembolü) aşağıdaki bağlamda matematiksel mantık, "kanıtlanabilir" anlamına gelir. Yani, ${ displaystyle a vdash b}$ okur: b kanıtlanabilir a (bazı belirli resmi sistemlerde). Görmek Mantık sembollerinin listesi. Diğer durumlarda, turnike sembolü şu anlama gelebilir; türetilmesine izin verir. Görmek: Matematiksel sembollerin listesi.

Tanım

Bir dizi formüller ${ displaystyle Phi}$ birinci dereceden mantıkta tutarlı (yazılı ${ displaystyle operatorname {Con} Phi}$ ) formül yoksa ${ displaystyle varphi}$ öyle ki ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ ve ${ displaystyle Phi vdash lnot varphi}$ . Aksi takdirde ${ displaystyle Phi}$ dır-dir tutarsız (yazılı ${ displaystyle operatorname {Inc} Phi}$ ).
${ displaystyle Phi}$ olduğu söyleniyor basitçe tutarlı formül yoksa ${ displaystyle varphi}$ nın-nin ${ displaystyle Phi}$ , her ikisi de ${ displaystyle varphi}$ ve olumsuzluk nın-nin ${ displaystyle varphi}$ teoremleri ${ displaystyle Phi}$ .^{[açıklama gerekli ]}
${ displaystyle Phi}$ olduğu söyleniyor kesinlikle tutarlı veya Tutarlı yayınla dilinde en az bir formül varsa ${ displaystyle Phi}$ teoremi değil ${ displaystyle Phi}$ .
${ displaystyle Phi}$ olduğu söyleniyor maksimum tutarlı her formül için ${ displaystyle varphi}$ , Eğer ${ displaystyle operatorname {Con} ( Phi cup { varphi })}$ ima eder ${ displaystyle varphi in Phi}$ .
${ displaystyle Phi}$ söylendi tanıklar içermek formun her formülü için ${ displaystyle vardır x , varphi}$ var bir dönem ${ displaystyle t}$ öyle ki ${ displaystyle ( x , varphi ile varphi {t x üzerinden}) Phi içinde var}$ , nerede ${ displaystyle varphi {t x üzerinden}}$ gösterir ikame her biri için ${ displaystyle x}$ içinde ${ displaystyle varphi}$ tarafından ${ displaystyle t}$ ; Ayrıca bakınız Birinci dereceden mantık.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Temel sonuçlar

Aşağıdakiler eşdeğerdir:
1. ${ displaystyle operatorname {Inc} Phi}$
2. Hepsi için ${ displaystyle varphi, ; Phi vdash varphi.}$
Her tatmin edilebilir formül kümesi tutarlıdır; burada bir dizi formül ${ displaystyle Phi}$ ancak ve ancak bir model varsa tatmin edicidir ${ displaystyle { mathfrak {I}}}$ öyle ki ${ displaystyle { mathfrak {I}} vDash Phi}$ .
Hepsi için ${ displaystyle Phi}$ $Phi$ ve ${ displaystyle varphi}$ $varphi$ :
1. değilse ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ , sonra ${ displaystyle operatorname {Con} sol ( Phi cup { lnot varphi } sağ)}$ ;
2. Eğer ${ displaystyle operatorname {Con} Phi}$ ve ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ , sonra ${ displaystyle operatorname {Con} sol ( Phi cup { varphi } sağ)}$ ;
3. Eğer ${ displaystyle operatorname {Con} Phi}$ , sonra ${ displaystyle operatorname {Con} sol ( Phi cup { varphi } sağ)}$ veya ${ displaystyle operatorname {Con} sol ( Phi cup { lnot varphi } sağ)}$ .
İzin Vermek ${ displaystyle Phi}$ $Phi$ maksimum tutarlı bir formül kümesi olun ve içerdiğini varsayın tanıklar. Hepsi için ${ displaystyle varphi}$ $varphi$ ve ${ displaystyle psi}$ $psi$ :
1. Eğer ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ , sonra ${ displaystyle varphi in Phi}$ ,
2. ya ${ displaystyle varphi in Phi}$ veya ${ displaystyle lnot varphi in Phi}$ ,
3. $Phi içinde { displaystyle ( varphi lor psi)$ ancak ve ancak ${ displaystyle varphi in Phi}$ veya ${ displaystyle psi in Phi}$ ,
4. Eğer $Phi içinde { displaystyle ( varphi ila psi)$ ve ${ displaystyle varphi in Phi}$ , sonra ${ displaystyle psi in Phi}$ ,
5. ${ Displaystyle Phi içinde x , varphi var}$ ancak ve ancak bir terim varsa ${ displaystyle t}$ öyle ki $Phi} içinde { displaystyle varphi {t x}$ .^{[kaynak belirtilmeli ]}

Henkin teoremi

İzin Vermek ${ displaystyle S}$ olmak semboller seti. İzin Vermek ${ displaystyle Phi}$ maksimum tutarlılık ${ displaystyle S}$ -içeren formüller tanıklar.

Tanımla denklik ilişkisi ${ displaystyle sim}$ sette ${ displaystyle S}$ -terms tarafından ${ displaystyle t_ {0} sim t_ {1}}$ Eğer ${ displaystyle ; t_ {0} equiv t_ {1} in Phi}$ , nerede ${ displaystyle equiv}$ gösterir eşitlik. İzin Vermek ${ displaystyle { overline {t}}}$ belirtmek denklik sınıfı içeren terimler ${ displaystyle t}$ ; ve izin ver ${ displaystyle T _ { Phi}: = {; { üst çizgi {t}} orta t içinde T ^ {S} }}$ nerede ${ displaystyle T ^ {S}}$ semboller kümesine dayalı terimler kümesidir ${ displaystyle S}$ .

Tanımla ${ displaystyle S}$ -yapı ${ displaystyle { mathfrak {T}} _ { Phi}}$ bitmiş ${ displaystyle T _ { Phi}}$ , aynı zamanda vade yapısı karşılık gelen ${ displaystyle Phi}$ , tarafından:

her biri için ${ displaystyle n}$ -ary ilişki sembolü ${ displaystyle R S’de}$ , tanımlamak ${ displaystyle R ^ {{ mathfrak {T}} _ { Phi}} { overline {t_ {0}}} ldots { overline {t_ {n-1}}}}$ Eğer ${ displaystyle ; Rt_ {0} ldots t_ {n-1} in Phi;}$ ^[8]
her biri için ${ displaystyle n}$ -ary işlev sembolü ${ displaystyle f S'de}$ , tanımlamak ${ displaystyle f ^ {{ mathfrak {T}} _ { Phi}} ({ overline {t_ {0}}} ldots { overline {t_ {n-1}}}): = { overline {ft_ {0} ldots t_ {n-1}}};}$
her sabit sembol için ${ displaystyle c S’de}$ , tanımlamak ${ displaystyle c ^ {{ mathfrak {T}} _ { Phi}}: = { overline {c}}.}$

Bir değişken atama tanımlayın ${ displaystyle beta _ { Phi}}$ tarafından ${ displaystyle beta _ { Phi} (x): = { çubuğu {x}}}$ her değişken için ${ displaystyle x}$ . İzin Vermek ${ displaystyle { mathfrak {I}} _ { Phi}: = ({ mathfrak {T}} _ { Phi}, beta _ { Phi})}$ ol dönem yorumlama ile ilişkili ${ displaystyle Phi}$ .

Sonra her biri için ${ displaystyle S}$ -formül ${ displaystyle varphi}$ :

${ displaystyle { mathfrak {I}} _ { Phi} vDash varphi}$ ancak ve ancak ${ displaystyle ; varphi in Phi.}$ ^{[kaynak belirtilmeli ]}

İspat taslağı

Doğrulaması gereken birkaç şey var. İlk olarak ${ displaystyle sim}$ aslında bir denklik ilişkisidir. Daha sonra, (1), (2) ve (3) 'ün iyi tanımlandığı doğrulanmalıdır. Bu gerçeğinden düşüyor ${ displaystyle sim}$ bir eşdeğerlik ilişkisidir ve ayrıca (1) ve (2) 'nin seçiminden bağımsız olduğuna dair bir kanıt gerektirir ${ displaystyle t_ {0}, ldots, t_ {n-1}}$ sınıf temsilcileri. En sonunda, ${ displaystyle { mathfrak {I}} _ { Phi} vDash varphi}$ formüllerde indüksiyonla doğrulanabilir.

Model teorisi

İçinde ZFC küme teorisi klasik ile birinci dereceden mantık,^[9] bir tutarsız teori ${ displaystyle T}$ kapalı bir cümle var olan biri ${ displaystyle varphi}$ öyle ki ${ displaystyle T}$ ikisini de içerir ${ displaystyle varphi}$ ve onun olumsuzluğu ${ displaystyle varphi '}$ . Bir tutarlı teori, aşağıdakilerden biridir mantıksal olarak eşdeğer koşullar geçerli

${ displaystyle { varphi, varphi '} not subseteq T}$ ^[10]
${ displaystyle varphi ' T lor varphi içinde değil T de değil}$

Ayrıca bakınız

Dipnotlar

^ Tarski 1946 bunu şu şekilde ifade eder: "Tümdengelimli bir teori denir tutarlı veya çelişkili olmayan Bu teorinin öne sürülen iki ifadesi birbiriyle çelişmiyorsa veya başka bir deyişle, iki çelişkili cümle varsa ... en az biri kanıtlanamaz, "(s. 135) çelişkili şöyle: "Sözcüğün yardımıyla değil biri oluşturur olumsuzluk herhangi bir cümlenin; ilki ikincinin olumsuzlaması olan iki cümle denir çelişkili cümleler"(s. 20). Bu tanım," kanıt "kavramını gerektirir. Gödel 1931 nosyonu şu şekilde tanımlar: "Sınıfı kanıtlanabilir formüller aksiyomları içeren en küçük formül sınıfı olarak tanımlanır ve "anlık sonuç" ilişkisi, yani formül c nın-nin a ve b olarak tanımlanır acil sonuç açısından modus ponens veya ikame; cf Gödel 1931, van Heijenoort 1967, s. 601. Tarski, "kanıtı" gayri resmi olarak, "ifadelerin belirli ilkelere göre belirli bir sırayla birbirini takip etmesi" şeklinde tanımlar ... ve bunların geçerliliğini belirlemeye yönelik değerlendirmelerle birlikte [tüm gerçek öncüller için gerçek sonuç - Reichenbach 1947, s. 68] "cf Tarski 1946, s. 3. Kleene 1952 kavramı, bir tümevarım ya da başka sözcüklerle ifade etmek için) sonlu bir formül dizisini tanımlar, öyle ki, dizideki her formül, önceki formüllerin bir aksiyomu ya da bir "dolaysız sonucu" olur; "A kanıtın kanıt olduğu söyleniyor nın-nin onun son formülü ve bu formülün (resmi olarak) kanıtlanabilir ya da bir (biçimsel) teorem "cf Kleene 1952, s. 83.
^ Hodges, Wilfrid (1997). Daha Kısa Bir Model Teorisi. New York: Cambridge University Press. s. 37. İzin Vermek ${ displaystyle L}$ imza olmak ${ displaystyle T}$ bir teori ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ ve ${ displaystyle varphi}$ bir cümle ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ . Biz söylüyoruz ${ displaystyle varphi}$ bir sonuç nın-nin ${ displaystyle T}$ , yada bu ${ displaystyle T}$ gerektirir ${ displaystyle varphi}$ , sembollerde ${ displaystyle T vdash varphi}$ eğer her model ${ displaystyle T}$ bir modeldir ${ displaystyle varphi}$ . (Özellikle eğer ${ displaystyle T}$ o zaman modeli yok ${ displaystyle T}$ gerektirir ${ displaystyle varphi}$ .)
Uyarı: eğer gerekli değilse ${ displaystyle T vdash varphi}$ o zaman bir kanıtı var ${ displaystyle varphi}$ itibaren ${ displaystyle T}$ . Her durumda, sonsuz dillerde neyin bir kanıt oluşturacağı her zaman açık değildir. Bazı yazarlar kullanır ${ displaystyle T vdash varphi}$ demek istemek ${ displaystyle varphi}$ çıkarılabilir ${ displaystyle T}$ belirli bir resmi ispat hesaplamasında ve yazarlar ${ displaystyle T modelleri varphi}$ karmaşa kavramımız için (bizim ile çatışan bir gösterim) ${ displaystyle A modelleri varphi}$ ). Birinci dereceden mantık için, söz konusu ispat hesabı için iki tür işlem, tamlık teoremi ile çakışır.
Biz söylüyoruz ${ displaystyle varphi}$ dır-dir geçerliveya bir mantıksal teorem, sembollerde ${ displaystyle vdash varphi}$ , Eğer ${ displaystyle varphi}$ her yerde doğrudur ${ displaystyle L}$ yapı. Biz söylüyoruz ${ displaystyle varphi}$ dır-dir tutarlı Eğer ${ displaystyle varphi}$ bazılarında doğru ${ displaystyle L}$ yapı. Aynı şekilde bir teori olduğunu söylüyoruz ${ displaystyle T}$ dır-dir tutarlı bir modeli varsa.
Aynı modellere sahiplerse, yani Mod (S) = Mod (T) ise, L sonsuz omega'daki iki S ve T teorisinin eşdeğer olduğunu söylüyoruz. (Lütfen s. 30'daki Mod (T) tanımına dikkat edin ...)
^ van Heijenoort 1967, s. 265, Bernays'in bağımsızlık aksiyomlarının Principia Mathematica, 1926'ya kadar yayınlanmayan bir sonuç, ancak Bernays'in tutarlılık.
^ Gönderi, PM'nin önerme hesabının tutarlılığını ve bütünlüğünü kanıtlar, bkz. Van Heijenoort'un yorumu ve Post'un 1931 Genel bir temel önermeler teorisine giriş içinde van Heijenoort 1967, sayfa 264ff. Ayrıca Tarski 1946, s. 134ff.
^ cf van Heijenoort'un yorumu ve Gödel'in 1930'u Mantık işlevsel hesabının aksiyomlarının tamlığı içinde van Heijenoort 1967, s. 582ff.
^ cf van Heijenoort'un yorumu ve Herbrand'ın 1930'u Aritmetiğin tutarlılığı hakkında içinde van Heijenoort 1967, sayfa 618ff.
^ Gayri resmi olarak, Zermelo – Fraenkel küme teorisi genellikle varsayılır; gayri resmi matematiğin bazı lehçeleri geleneksel olarak seçim aksiyomu ek olarak.
^ Bu tanım, seçiminden bağımsızdır ${ displaystyle t_ {i}}$ ikame özelliklerinden dolayı ${ displaystyle equiv}$ ve maksimum tutarlılık ${ displaystyle Phi}$ .
^ Matematiğin diğer alanlarına yapılan birçok uygulamada ortak durum ve aynı zamanda sıradan akıl yürütme modu gayri resmi matematik Matematikte ve fizik, kimya, mühendislik uygulamaları
^ göre De Morgan yasaları

Referanslar

Kleene, Stephen (1952). Metamatatiğe Giriş. New York: Kuzey-Hollanda. ISBN 0-7204-2103-9.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı) 10. izlenim 1991.
Reichenbach, Hans (1947). Sembolik Mantığın Unsurları. New York: Dover. ISBN 0-486-24004-5.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
Tarski, Alfred (1946). Mantığa ve Tümdengelimli Bilimlerin Metodolojisine Giriş (İkinci baskı). New York: Dover. ISBN 0-486-28462-X.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
van Heijenoort, Jean (1967). Frege'den Gödel'e: Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap. Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı) (pbk.)
"Tutarlılık". Cambridge Felsefe Sözlüğü.
Ebbinghaus, H. D .; Flum, J .; Thomas, W. Matematiksel Mantık.
Jevons, W. S. (1870). Temel Mantık Dersleri.

Dış bağlantılar

Mortensen, Chris. "Tutarsız Matematik". Stanford Felsefe Ansiklopedisi.

[1] Tarski 1946 bunu şu şekilde ifade eder: "Tümdengelimli bir teori denir tutarlı veya çelişkili olmayan Bu teorinin öne sürülen iki ifadesi birbiriyle çelişmiyorsa veya başka bir deyişle, iki çelişkili cümle varsa ... en az biri kanıtlanamaz, "(s. 135) çelişkili şöyle: "Sözcüğün yardımıyla değil biri oluşturur olumsuzluk herhangi bir cümlenin; ilki ikincinin olumsuzlaması olan iki cümle denir çelişkili cümleler"(s. 20). Bu tanım," kanıt "kavramını gerektirir. Gödel 1931 nosyonu şu şekilde tanımlar: "Sınıfı kanıtlanabilir formüller aksiyomları içeren en küçük formül sınıfı olarak tanımlanır ve "anlık sonuç" ilişkisi, yani formül c nın-nin a ve b olarak tanımlanır acil sonuç açısından modus ponens veya ikame; cf Gödel 1931, van Heijenoort 1967, s. 601. Tarski, "kanıtı" gayri resmi olarak, "ifadelerin belirli ilkelere göre belirli bir sırayla birbirini takip etmesi" şeklinde tanımlar ... ve bunların geçerliliğini belirlemeye yönelik değerlendirmelerle birlikte [tüm gerçek öncüller için gerçek sonuç - Reichenbach 1947, s. 68] "cf Tarski 1946, s. 3. Kleene 1952 kavramı, bir tümevarım ya da başka sözcüklerle ifade etmek için) sonlu bir formül dizisini tanımlar, öyle ki, dizideki her formül, önceki formüllerin bir aksiyomu ya da bir "dolaysız sonucu" olur; "A kanıtın kanıt olduğu söyleniyor nın-nin onun son formülü ve bu formülün (resmi olarak) kanıtlanabilir ya da bir (biçimsel) teorem "cf Kleene 1952, s. 83.

[2] Hodges, Wilfrid (1997). Daha Kısa Bir Model Teorisi. New York: Cambridge University Press. s. 37. İzin Vermek ${ displaystyle L}$ imza olmak ${ displaystyle T}$ bir teori ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ ve ${ displaystyle varphi}$ bir cümle ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ . Biz söylüyoruz ${ displaystyle varphi}$ bir sonuç nın-nin ${ displaystyle T}$ , yada bu ${ displaystyle T}$ gerektirir ${ displaystyle varphi}$ , sembollerde ${ displaystyle T vdash varphi}$ eğer her model ${ displaystyle T}$ bir modeldir ${ displaystyle varphi}$ . (Özellikle eğer ${ displaystyle T}$ o zaman modeli yok ${ displaystyle T}$ gerektirir ${ displaystyle varphi}$ .)
Uyarı: eğer gerekli değilse ${ displaystyle T vdash varphi}$ o zaman bir kanıtı var ${ displaystyle varphi}$ itibaren ${ displaystyle T}$ . Her durumda, sonsuz dillerde neyin bir kanıt oluşturacağı her zaman açık değildir. Bazı yazarlar kullanır ${ displaystyle T vdash varphi}$ demek istemek ${ displaystyle varphi}$ çıkarılabilir ${ displaystyle T}$ belirli bir resmi ispat hesaplamasında ve yazarlar ${ displaystyle T modelleri varphi}$ karmaşa kavramımız için (bizim ile çatışan bir gösterim) ${ displaystyle A modelleri varphi}$ ). Birinci dereceden mantık için, söz konusu ispat hesabı için iki tür işlem, tamlık teoremi ile çakışır.
Biz söylüyoruz ${ displaystyle varphi}$ dır-dir geçerliveya bir mantıksal teorem, sembollerde ${ displaystyle vdash varphi}$ , Eğer ${ displaystyle varphi}$ her yerde doğrudur ${ displaystyle L}$ yapı. Biz söylüyoruz ${ displaystyle varphi}$ dır-dir tutarlı Eğer ${ displaystyle varphi}$ bazılarında doğru ${ displaystyle L}$ yapı. Aynı şekilde bir teori olduğunu söylüyoruz ${ displaystyle T}$ dır-dir tutarlı bir modeli varsa.
Aynı modellere sahiplerse, yani Mod (S) = Mod (T) ise, L sonsuz omega'daki iki S ve T teorisinin eşdeğer olduğunu söylüyoruz. (Lütfen s. 30'daki Mod (T) tanımına dikkat edin ...)

[3] van Heijenoort 1967, s. 265, Bernays'in bağımsızlık aksiyomlarının Principia Mathematica, 1926'ya kadar yayınlanmayan bir sonuç, ancak Bernays'in tutarlılık.

[4] Gönderi, PM'nin önerme hesabının tutarlılığını ve bütünlüğünü kanıtlar, bkz. Van Heijenoort'un yorumu ve Post'un 1931 Genel bir temel önermeler teorisine giriş içinde van Heijenoort 1967, sayfa 264ff. Ayrıca Tarski 1946, s. 134ff.

[5] van Heijenoort'un yorumu ve Gödel'in 1930'u Mantık işlevsel hesabının aksiyomlarının tamlığı içinde van Heijenoort 1967, s. 582ff.

[6] van Heijenoort'un yorumu ve Herbrand'ın 1930'u Aritmetiğin tutarlılığı hakkında içinde van Heijenoort 1967, sayfa 618ff.

[7] Gayri resmi olarak, Zermelo – Fraenkel küme teorisi genellikle varsayılır; gayri resmi matematiğin bazı lehçeleri geleneksel olarak seçim aksiyomu ek olarak.

[8] Bu tanım, seçiminden bağımsızdır ${ displaystyle t_ {i}}$ ikame özelliklerinden dolayı ${ displaystyle equiv}$ ve maksimum tutarlılık ${ displaystyle Phi}$ .

[9] Matematiğin diğer alanlarına yapılan birçok uygulamada ortak durum ve aynı zamanda sıradan akıl yürütme modu gayri resmi matematik Matematikte ve fizik, kimya, mühendislik uygulamaları

[10] öre De Morgan yasaları

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

‌Mantıksal gerçek ⊤
Fonksiyonel:	gerçek değer doğruluk işlevi ⊨ totoloji
Biçim:	teori resmi kanıt teorem
Olumsuzluk	⊥ yanlış çelişki tutarsızlık