Cesur algebroid - Courant algebroid

Bir tarlada matematik olarak bilinir diferansiyel geometri, bir Serbest geometri aslen Zhang-Ju Liu tarafından tanıtıldı, Alan Weinstein ve Ping Xu'nun çiftleri hakkındaki araştırmasında Bialgebroids yalan 1997'de.^[1] Liu, Weinstein ve Xu ona adını verdi Courant 1990'da daha önce örtük olarak tasarlamış olan^[2] üzerinde çarpık bir simetrik parantez keşfi ile Courant cebirinin standart prototipi ${displaystyle TMoplus T ^ {*} M}$, Jacobi kimliğini tatmin etmeyen, bugün Courant parantez olarak adlandırılır. Hem bu standart örnek hem de bir Lie çift cebirinin iki katı, Courant cebirlerinin özel örnekleridir.

Tanım

Bir Courant algoritması, bir vektör demetindeki verilerden oluşur ${displaystyle E o M}$ bir dirsek ile ${displaystyle [.,.]: Gamma E imes Gamma E o Gamma E}$dejenere olmayan, lif bazlı bir iç ürün ${displaystyle langle.,. angle: E o M imes mathbb {R}}$ve bir paket harita ${displaystyle ho: E o TM}$ aşağıdaki aksiyomlara tabi olarak,

${displaystyle [phi, [chi, psi]] = [[phi, chi], psi] + [chi, [phi, psi]]}$

${displaystyle [phi, fpsi] = ho (phi) fpsi + f [phi, psi]}$

${displaystyle [phi, phi] = {frac {1} {2}} Dlangle phi, phi açısı}$

${displaystyle ho (phi) langle psi, psi angle = 2langle [phi, psi], psi angle}$

nerede φ, ψ, χ bölümleri E ve f taban manifoldunda sorunsuz bir işlevdir M. D kombinasyon ${displaystyle kappa ^ {- 1} ho ^ {T} d}$ ile d de Rham diferansiyeli, ${displaystyle ho ^ {T}}$ ikili haritası ${displaystyle ho}$, ve κ haritadan E -e ${displaystyle E ^ {*}}$ iç ürün tarafından indüklenir.

Eğik Simetrik Tanım

Ayraç yapmak için alternatif bir tanım verilebilir çarpık simetrik gibi

${displaystyle [[phi, psi]] = {frac {1} {2}} {ig (} [phi, psi] - [psi, phi] {ig.})}$

Bu, artık yukarıdaki Jakobi kimliği aksiyomunu karşılamıyor. Bunun yerine homotopik bir Jacobi kimliğini yerine getiriyor.

${displaystyle [[phi, [[psi, chi]],]] + {ext {sikl.}} = DT (phi, psi, chi)}$

nerede T dır-dir

${displaystyle T (phi, psi, chi) = {frac {1} {3}} langle [phi, psi], chi açısı + {ext {cycl.}}}$

Leibniz kuralı ve skaler çarpımın değişmezliği, ilişki tarafından değiştirilir. ${displaystyle [[phi, psi]] = [phi, psi] - {frac {1} {2}} Dlangle phi, psi açısı}$ ve çarpık simetri ihlalinin yerini aksiyom alır

${displaystyle ho circ D = 0}$

Türetme ile birlikte çarpık simetrik parantez D ve Jacobiator T oluşturmak kuvvetle homotopik Lie cebiri.

Özellikleri

Parantez, üçüncü aksiyomdan görülebileceği gibi çarpık simetrik değildir. Bunun yerine, belirli bir Jacobi kimliğini (ilk aksiyom) ve bir Leibniz kuralını (ikinci aksiyom) yerine getirir. Bu iki aksiyomdan, çapa haritasının ρ parantezlerin bir morfizmidir:

${displaystyle ho [phi, psi] = [ho (phi), ho (psi)].}$

Dördüncü kural, parantezin altındaki iç çarpımın değişmezliğidir. Polarizasyon yol açar

${displaystyle ho (phi) langle chi, psi açısı = langle [phi, chi], psi açısı + langle chi, [phi, psi] açı.}$

Örnekler

Courant algebroidinin bir örneği, Dorfman dirsek^[3] doğrudan toplamda ${displaystyle TMoplus T ^ {*} M}$ Ševera tarafından sunulan bir twist ile,^[4] (1998) şöyle tanımlamıştır:

${displaystyle [X + xi, Y + eta] = [X, Y] + ({mathcal {L}} _ {X}, eta -i (Y) dxi + i (X) i (Y) H)}$

nerede X, Y vektör alanlarıdır, ξ, η 1-formlar ve H braketi büken kapalı 3 formdur. Bu parantez, entegrasyonunu tanımlamak için kullanılır. genelleştirilmiş karmaşık yapılar.

Daha genel bir örnek bir Lie cebirinden ortaya çıkar Bir kimin indüklediği diferansiyel ${displaystyle A ^ {*}}$ olarak yazılacak d tekrar. Daha sonra Dorfman dirseği ile aynı formülü kullanın H bir Bir-3 form altında kapalı d.

Bir Courant cebirinin başka bir örneği, ikinci dereceden bir Lie cebiridir, yani değişmez bir skaler ürüne sahip bir Lie cebiri. Burada temel manifold sadece bir noktadır ve dolayısıyla çapa haritası (ve D) önemsizdir.

Weinstein ve diğerleri tarafından makalede açıklanan örnek. bir Lie bialgebroid'den gelir, yani Bir a Lie cebiridi (çapa ile ${displaystyle ho _ {A}}$ ve dirsek ${displaystyle [.,.] _ {A}}$), ayrıca ikili ${displaystyle A ^ {*}}$ a Lie cebiridi (diferansiyelin ${displaystyle d_ {A ^ {*}}}$ açık ${displaystyle wedge ^ {*} A}$) ve ${displaystyle d_ {A ^ {*}} [X, Y] _ {A} = [d_ {A ^ {*}} X, Y] _ {A} + [X, d_ {A ^ {*}} Y ] _ {A}}$ (Sağ tarafın neresinde Birbraket ${ekran stili kama ^ {*} A}$ dereceli Leibniz kuralı kullanarak). Bu kavram simetriktir Bir ve ${displaystyle A ^ {*}}$ (Roytenberg'e bakınız). Buraya ${displaystyle E = Aoplus A ^ {*}}$ çapa ile ${displaystyle ho (X + alfa) = ho _ {A} (X) + ho _ {A ^ {*}} (alfa)}$ ve köşeli ayraç, yukarıdakinin çarpık simetrisidir. X ve α (eşdeğer olarak Y ve β):

${displaystyle [X + alfa, Y + eta] = ([X, Y] _ {A} + {matematik {L}} _ {alfa} ^ {A ^ {*}} Y-i_ {eta} d_ {A ^ {*}} X) + ([alfa, eta] _ {A ^ {*}} + {matematik {L}} _ {X} ^ {A} eta -i_ {Y} d_ {A} alfa)}$

Dirac yapıları

İç çarpımı olan bir Courant algebroidi verildiğinde ${displaystyle langle.,. angle}$ bölünmüş imzanın (örneğin standart olan ${displaystyle TMoplus T ^ {*} M}$), sonra bir Dirac yapısı maksimum izotropik entegre edilebilir vektör alt grubudur L → Myani

${displaystyle langle L, Langle equiv 0}$,

${displaystyle mathrm {rk}, L = {frac {1} {2}} mathrm {rk}, E}$,

${displaystyle [Gama L, Gama L] alt kümesi Gama L}$.

Örnekler

Courant ve paralel olarak Dorfman tarafından keşfedildiği üzere, 2-formun grafiği ω ∈ Ω²(M) maksimum izotropiktir ve dahası integrallenebilirω = 0, yani 2-form de Rham diferansiyeli altında, yani preimplektik bir yapı altında kapalıdır.

İkinci sınıf örnekler çiftçilerden ortaya çıkar ${Gamma'da displaystyle Pi (kama ^ {2} TM)}$ grafiği maksimum izotropik ve integrallenebilir ancak [Π, Π] = 0, yani Π bir Poisson ayırıcı açık M.

Genelleştirilmiş karmaşık yapılar

(ayrıca ana makaleye bakın genelleştirilmiş karmaşık geometri )

Bölünmüş imzanın iç çarpımına sahip bir Courant algebroidi verildi. Genelleştirilmiş karmaşık bir yapı L → M bir Dirac yapısıdır karmaşık Ek mülk ile cesur algebroid

${displaystyle Lcap {ar {L}} = 0}$

nerede ${displaystyle {ar {}}}$ karmaşıklaşmadaki standart karmaşık yapıya göre karmaşık birleşme anlamına gelir.

Gualtieri tarafından detaylı olarak incelendiği gibi^[5] genelleştirilmiş karmaşık yapılar, geometri çalışmasına benzer şekilde izin verir karmaşık geometri.

Örnekler

Örnekler, presemplektik ve Poisson yapılarının yanı sıra aynı zamanda bir karmaşık yapı J: TM → TM.

Referanslar

daha fazla okuma

• Dmitry Roytenberg: Cesur algebroidler, türetilmiş parantezler ve hatta semplektik süpermanifoldlar, Doktora tezi Üniv. California Berkeley (1999)