Döngüsel alt uzay - Cyclic subspace

İçinde matematik, içinde lineer Cebir ve fonksiyonel Analiz, bir çevrimsel altuzay belli bir özel alt uzay bir vektör alanı vektör uzayındaki bir vektör ve bir doğrusal dönüşüm vektör uzayı. Bir vektörle ilişkili döngüsel alt uzay v vektör uzayında V ve doğrusal bir dönüşüm T nın-nin V denir T-cyclic subspace tarafından oluşturulan v. Döngüsel alt uzay kavramı, doğrusal cebirde çevrimsel ayrışma teoreminin formülasyonunda temel bir bileşendir.

Tanım

İzin Vermek ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ bir vektör uzayının doğrusal dönüşümü olabilir ${ displaystyle V}$ ve izin ver ${ displaystyle v}$ vektör olmak ${ displaystyle V}$. ${ displaystyle T}$döngüsel alt uzay ${ displaystyle V}$ tarafından oluşturuldu ${ displaystyle v}$ alt uzay ${ displaystyle W}$ nın-nin ${ displaystyle V}$ vektör kümesi tarafından üretilen ${ displaystyle {v, T (v), T ^ {2} (v), ldots, T ^ {r} (v), ldots }}$. Bu alt uzay ${ displaystyle Z (v; T)}$. Durumda ne zaman ${ displaystyle V}$ bir topolojik vektör uzayı, ${ displaystyle v}$ denir döngüsel vektör için ${ displaystyle T}$ Eğer ${ displaystyle Z (v; T)}$ yoğun ${ displaystyle V}$. Özel durum için sonlu boyutlu boşluklar, bu şunu söylemeye eşdeğerdir ${ displaystyle Z (v; T)}$ tüm alan ${ displaystyle V}$.^[1]

Döngüsel uzayların eşdeğer bir tanımı daha vardır. İzin Vermek ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ topolojik vektör uzayının bir alan ${ displaystyle F}$ ve ${ displaystyle v}$ vektör olmak ${ displaystyle V}$. Formun tüm vektörlerinin kümesi ${ displaystyle g (T) v}$, nerede ${ displaystyle g (x)}$ bir polinom içinde yüzük ${ displaystyle F [x]}$ içindeki tüm polinomların ${ displaystyle x}$ bitmiş ${ displaystyle F}$, ${ displaystyle T}$-cyclic subspace tarafından oluşturulan ${ displaystyle v}$.^[1]

Alt uzay ${ displaystyle Z (v; t)}$ bir değişmez alt uzay için ${ displaystyle T}$, anlamda olduğu ${ displaystyle TZ (v; T) altkümesi Z (v; t)}$.

Örnekler

1. Herhangi bir vektör uzayı için ${ displaystyle V}$ ve herhangi bir doğrusal operatör ${ displaystyle T}$ açık ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle T}$sıfır vektörü tarafından üretilen döngüsel alt uzay, sıfır alt uzayıdır. ${ displaystyle V}$.
2. Eğer ${ displaystyle I}$ ... kimlik operatörü sonra her ${ displaystyle I}$-döngüsel altuzay tek boyutludur.
3. ${ displaystyle Z (v; T)}$ tek boyutludur ancak ve ancak ${ displaystyle v}$ bir karakteristik vektör (özvektör) ${ displaystyle T}$.
4. İzin Vermek ${ displaystyle V}$ iki boyutlu vektör uzayı olalım ve ${ displaystyle T}$ doğrusal operatör olmak ${ displaystyle V}$ matris ile temsil edilir ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 ve 1 0 ve 0 end {bmatrix}}}$ standart sıralı esasına göre ${ displaystyle V}$. İzin Vermek ${ displaystyle v = { başlar {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}}$. Sonra ${ displaystyle Tv = { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}, quad T ^ {2} v = 0, ldots, T ^ {r} v = 0, ldots}$. Bu nedenle ${ displaystyle {v, T (v), T ^ {2} (v), ldots, T ^ {r} (v), ldots } = sol {{ başla {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}} right }}$ ve bu yüzden ${ displaystyle Z (v; T) = V}$. Böylece ${ displaystyle v}$ için döngüsel bir vektördür ${ displaystyle T}$.

Tamamlayıcı matris

İzin Vermek ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ bir doğrusal dönüşümü olmak ${ displaystyle n}$boyutlu vektör uzayı ${ displaystyle V}$ bir tarla üzerinde ${ displaystyle F}$ ve ${ displaystyle v}$ döngüsel vektör olmak ${ displaystyle T}$. Sonra vektörler

${ displaystyle B = {v_ {1} = v, v_ {2} = Tv, v_ {3} = T ^ {2} v, ldots v_ {n} = T ^ {n-1} v } }$

sıralı bir temel oluşturmak ${ displaystyle V}$. Bırakın karakteristik polinom ${ displaystyle T}$ olmak

${ displaystyle p (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + cdots + c_ {n-1} x ^ {n-1} + x ^ {n }}$.

Sonra

${ displaystyle { begin {align} Tv_ {1} & = v_ {2} Tv_ {2} & = v_ {3} Tv_ {3} & = v_ {4} vdots & Tv_ {n-1} & = v_ {n} Tv_ {n} & = - c_ {0} v_ {1} -c_ {1} v_ {2} - cdots c_ {n-1} v_ {n } end {hizalı}}}$

Bu nedenle, sıralı temele göre ${ displaystyle B}$, operatör ${ displaystyle T}$ matris ile temsil edilir

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & -c_ {0} 1 & 0 & 0 & ldots & 0 & -c_ {1} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 & -c_ {2} vdots &&&&&& 0 & 0 & 0 & ldots & 1 & -c_ {n-1} end {bmatrix}}}$

Bu matrise, tamamlayıcı matris polinomun ${ displaystyle p (x)}$.^[1]

Ayrıca bakınız

• Tamamlayıcı matris
• Krylov alt uzayı

Dış bağlantılar

• PlanetMath: çevrimsel altuzay

Referanslar