| Bu bölüm için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. İlgili tartışma şurada bulunabilir: konuşma sayfası. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. (Ekim 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) |
İçinde matematik, Yönlü türev çok değişkenli ayırt edilebilir işlev verilen boyunca vektör v belirli bir noktada x fonksiyonun anlık değişim oranını sezgisel olarak temsil eder, x ile belirtilen bir hızla v. Bu nedenle, a kavramını genelleştirir kısmi türev değişim oranının aşağıdakilerden biri boyunca alındığı eğrisel koordinat eğrileri, diğer tüm koordinatlar sabittir.
Yönlü türev, özel bir durumdur. Gateaux türevi.
Gösterim
İzin Vermek f seçilen bir noktada teğet vektörü olan bir eğri v. Bir fonksiyonun yönlü türevi f göre v aşağıdakilerden herhangi biri ile gösterilebilir:
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83d97f966c7d889ec321679705be79385048862)
![{ displaystyle f '_ { mathbf {v}} ( mathbf {x}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc84df22b6e9bfc8990c3d6a118e7628053670a7)
![{ displaystyle D _ { mathbf {v}} f ( mathbf {x}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b6251e12ff608a604410bdee33d64def12819b)
![{ displaystyle Df ( mathbf {x}) ( mathbf {v}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857745c5827ce18cbd75fbaf8f27774b3039b2c5)
![{ displaystyle kısmi _ { mathbf {v}} f ( mathbf {x}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f0008f0958e843258c1c4cf4fe2dc19632c4a5)
![{ displaystyle { frac { kısmi {f ( mathbf {x})}} { kısmi { mathbf {v}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490c948795ebd948bd04a40772ac3f0924b0f6a4)
![{ displaystyle mathbf {v} cdot { nabla f ( mathbf {x})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abed1cf5815f32a97e4294b843cac2da4b08be4)
![{ displaystyle mathbf {v} cdot { frac { kısmi f ( mathbf {x})} { kısmi mathbf {x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85160af2dee4077e920bb4589e401e2688c2b830)
Tanım
Bir
kontur grafiği nın-nin
![f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd27ae17a5f4e156905fdcee054a41d15fa36f)
, gradyan vektörünü siyah olarak ve birim vektörü göstererek
![mathbf {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261e20fe101de02a771021d9d4466c0ad3e352d7)
yönündeki yönlü türev ile ölçeklenir
![mathbf {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261e20fe101de02a771021d9d4466c0ad3e352d7)
turuncu. Gradyan vektörü daha uzundur çünkü gradyan bir fonksiyonun en büyük artış oranını işaret eder.
Yönlü türev bir skaler fonksiyon
![{ displaystyle f ( mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088b7663853044ccaedba73fd42cd102988e1e2b)
bir vektör boyunca
![{ displaystyle mathbf {v} = (v_ {1}, ldots, v_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8326c1433623213f7b20658b61e3b3221890f902)
... işlevi
tarafından tanımlanan limit[1]
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = lim _ {h rightarrow 0} { frac {f ( mathbf {x} + h mathbf {v }) -f ( mathbf {x})} {h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e028fff640c75de04c9b98d23c33366c71614634)
Bu tanım, geniş bir bağlam aralığında geçerlidir, örneğin norm bir vektörün (ve dolayısıyla bir birim vektörün) tanımsız olduğu.[2]
İşlev f dır-dir ayırt edilebilir -de x, o zaman yönlü türev herhangi bir vektör boyunca bulunur vve biri var
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = nabla f ( mathbf {x}) cdot mathbf {v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22089835975df6d9ec88c802926568e28efd5bc)
nerede
sağdaki ise gradyan ve
... nokta ürün.[3] Bu, bir yolun tanımlanmasından kaynaklanır
ve türevin tanımını bu yol boyunca hesaplanabilecek bir limit olarak kullanarak:
![{ displaystyle { başlar {hizalı} 0 = lim _ {t rightarrow 0} { frac {f (x + tv) -f (x) -tD_ {f} (x) (v)} {t} } = lim _ {t rightarrow 0} { frac {f (x + tv) -f (x)} {t}} - D_ {f} (x) (v) = nabla _ {v} f (x) -D_ {f} (x) (v) rightarrow nabla f ( mathbf {x}) cdot mathbf {v} = D_ {f} (x) (v) = nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d67841bd0a9aed0b1638a19cc9fb79374e6c2f9)
Sezgisel olarak, yönlü türevi f bir noktada x temsil etmek değişim oranı nın-nin fyönünde v zamana göre, geçmişe giderken x.
Sadece vektör yönünü kullanma
Açı α teğet arasında Bir ve kesme düzlemi degradenin yönünü içeriyorsa yatay maksimum olacaktır Bir.
İçinde Öklid uzayı, bazı yazarlar[4] sıfır olmayan rastgele bir vektöre göre yönlü türevi tanımlayın v sonra normalleştirme dolayısıyla büyüklüğünden bağımsızdır ve yalnızca yönüne bağlıdır.[5]
Bu tanım, artış oranını verir. f verilen yönde hareket eden mesafe birimi başına v. Bu durumda bir
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = lim _ {h rightarrow 0} { frac {f ( mathbf {x} + h mathbf {v }) -f ( mathbf {x})} {h | mathbf {v} |}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a4854aa77efb2cd8c2c25af9394a3835d02dae)
veya durumda f ayırt edilebilir x,
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} {f} ( mathbf {x}) = nabla f ( mathbf {x}) cdot { frac { mathbf {v}} {| mathbf {v} |}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0bf355bd4d4c9b4880afcab5a244a7ae63ff73)
Bir birim vektörüne kısıtlama
Bir işlev bağlamında Öklid uzayı, bazı metinler vektörü kısıtlar v olmak birim vektör. Bu kısıtlama ile, yukarıdaki her iki tanım da eşdeğerdir.[6]
Özellikleri
Sıradanlığın tanıdık özelliklerinin çoğu türev yönlü türev için tutun. Bunlar, herhangi bir işlev için şunları içerir f ve g bir Semt ve ayırt edilebilir içinde, p:
- toplam kuralı:
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (f + g) = nabla _ { mathbf {v}} f + nabla _ { mathbf {v}} g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e532c59311d56140bb56033d8eb52fe24e5f8f)
- sabit faktör kuralı: Herhangi bir sabit için c,
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (cf) = c nabla _ { mathbf {v}} f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fba4db881d89bfa89652a985ced1933b92f631)
- Ürün kuralı (veya Leibniz kuralı):
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (fg) = g nabla _ { mathbf {v}} f + f nabla _ { mathbf {v}} g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d9fcab3d25431f8de83e0ff42b2a353efdde52)
- zincir kuralı: Eğer g ayırt edilebilir p ve h ayırt edilebilir g(p), sonra
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} (h circ g) ( mathbf {p}) = h '(g ( mathbf {p})) nabla _ { mathbf {v}} g ( mathbf {p}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d1cf2167aabe52898001e8f839a6ca084ce9e7)
Diferansiyel geometride
İzin Vermek M olmak türevlenebilir manifold ve p bir nokta M. Farz et ki f bir mahallede tanımlanan bir fonksiyondur p, ve ayırt edilebilir -de p. Eğer v bir teğet vektör -e M -de p, sonra Yönlü türev nın-nin f boyunca v, çeşitli şekillerde gösterilir df(v) (görmek Dış türev ),
(görmek Kovaryant türev ),
(görmek Lie türevi ) veya
(görmek Teğet uzay § Türevler yoluyla tanım ) aşağıdaki gibi tanımlanabilir. İzin Vermek γ : [−1, 1] → M türevlenebilir bir eğri olmak γ(0) = p ve γ′(0) = v. Daha sonra yönlü türev şu şekilde tanımlanır:
![{ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} f ( mathbf {p}) = sol. { frac {d} {d tau}} f circ gamma ( tau) sağ | _ { tau = 0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395ae7bfe194094c6b93096cbae0d9505d653c23)
Bu tanım, seçiminden bağımsız olarak kanıtlanabilir γ, sağlanan γ öngörülen şekilde seçilir, böylece γ′(0) = v.
Lie türevi
Lie türevi bir vektör alanının
bir vektör alanı boyunca
iki yönlü türevin farkı ile verilir (kaybolan burulma ile):
![{ displaystyle { mathcal {L}} _ {V} W ^ { mu} = (V cdot nabla) W ^ { mu} - (W cdot nabla) V ^ { mu}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d43bb4cd1d2d58e6500cae7dc7755a91a43e83)
Özellikle skaler bir alan için
Lie türevi standart yönlü türeve indirgenir:
![{ displaystyle { mathcal {L}} _ {V} phi = (V cdot nabla) phi.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d87be5aca6bf1c720ad569e50758c8a4a30dca)
Riemann tensörü
Yönlü türevler genellikle Riemann eğrilik tensörü. Sonsuz küçük vektörü olan eğri bir dikdörtgen düşünün δ bir kenar boyunca ve δ′ Diğerinin yanında. Bir covector çeviriyoruz S boyunca δ sonra δ′ Ve sonra çeviriyi birlikte çıkarın δ' ve daha sonra δ. Kısmi türevler kullanarak yönlü türev oluşturmak yerine, kovaryant türev. İçin çeviri operatörü δ bu yüzden
![{ displaystyle 1+ sum _ { nu} delta ^ { nu} D _ { nu} = 1 + delta cdot D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2e559e9d63737143ca361a0a0cda0ab96936c0)
ve için δ′,
![{ displaystyle 1+ sum _ { mu} delta '^ { mu} D _ { mu} = 1 + delta' cdot D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241bf37f33e9d7699b9523c18c99aad69cd6e828)
İki yol arasındaki fark o zaman
![{ displaystyle (1+ delta ' cdot D) (1+ delta cdot D) S ^ { rho} - (1+ delta cdot D) (1+ delta' cdot D) S ^ { rho} = toplam _ { mu, nu} delta '^ { mu} delta ^ { nu} [D _ { mu}, D _ { nu}] S _ { rho}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bc9cd9d4bae49561e46e2bb1ade2f241a21595)
Tartışılabilir[7] kovaryant türevlerin değişmezliğinin manifoldun eğriliğini ölçtüğü:
![{ displaystyle [D _ { mu}, D _ { nu}] S _ { rho} = pm sum _ { sigma} R ^ { sigma} {} _ { rho mu nu} S_ { sigma},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32da9ce5c5713758361d02d266530759354ec070)
nerede R Riemann eğrilik tensörüdür ve işaret, imza geleneği yazarın.
Grup teorisinde
Çeviriler
İçinde Poincaré cebiri, sonsuz küçük bir çeviri operatörü tanımlayabiliriz P gibi
![{ displaystyle mathbf {P} = i nabla.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7df60047b2e512a83d73ab0727b614892df6568)
( ben onu garantiler P bir öz-eş operatör ) Sonlu bir yer değiştirme için λ, üniter Hilbert uzayı temsil çeviriler için[8]
![{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) = exp sol (-i mathbf { lambda} cdot mathbf {P} sağ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5de97f6b1201a7ed021a10d59ee211d85607b4)
Sonsuz küçük çeviri operatörünün yukarıdaki tanımını kullanarak, sonlu çeviri operatörünün üslü bir yönlü türev olduğunu görürüz:
![{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) = exp sol ( mathbf { lambda} cdot nabla sağ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c958963a43826790b2d753d849fa657801c65a)
Bu, çok değişkenli işlevler üzerinde hareket etmesi anlamında bir çeviri operatörüdür f(x) gibi
![{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) f ( mathbf {x}) = exp sol ( mathbf { lambda} cdot nabla sağ) f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x} + mathbf { lambda}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad9cb62d765034c66b8b862e03e09028702117f)
Son denklemin kanıtı |
---|
Standart tek değişkenli analizde, bir düz fonksiyon f (x) 'in türevi (küçük for için) ile tanımlanır ![{ displaystyle { frac {df} {dx}} = { frac {f (x + epsilon) -f (x)} { epsilon}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871afc6dea6fd89cfe5a083647a8fbae29d2aa8b)
Bu, f (x + ε) bulmak için yeniden düzenlenebilir: ![{ displaystyle f (x + epsilon) = f (x) + epsilon , { frac {df} {dx}} = sol (1+ epsilon , { frac {d} {dx}} sağ) f (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ef9e98a60f57c299f8da8436a8dec11b788840)
Bunu takip eder bir çeviri operatörüdür. Bu anında genelleştirilir[9] çok değişkenli fonksiyonlara f (x) ![{ displaystyle f ( mathbf {x} + mathbf { epsilon}) = sol (1+ mathbf { epsilon} cdot nabla sağ) f ( mathbf {x})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76514de0703b86c74a4a0e63ea7deb628a32fe4f)
Buraya sonsuz küçük yer değiştirme boyunca yönlü türevdir ε. Çeviri operatörünün sonsuz küçük sürümünü bulduk: ![{ displaystyle U ( mathbf { epsilon}) = 1 + mathbf { epsilon} cdot nabla.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff3d8d15329f2f85d16b7c587eb68daa840b4dc)
Grup çarpma yasasının[10] U (g) U (f) = U (gf) şeklini alır ![{ displaystyle U ( mathbf {a}) U ( mathbf {b}) = U ( mathbf {a + b}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6b3fb014de579bc150646a62d5a65a8adc8d55)
Sonlu yer değiştirmeyi aldığımızı varsayalım. λ ve N parçaya bölün (N → ∞ her yerde ima edilir), böylece λ/ N =ε. Diğer bir deyişle, ![{ displaystyle mathbf { lambda} = N mathbf { epsilon}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a0379ba293273e7650c49e5115bc714be116b3)
Sonra U uygulayarak (ε) N kere U inşa edebiliriz (λ): ![{ displaystyle [U ( mathbf { epsilon})] ^ {N} = U (N mathbf { epsilon}) = U ( mathbf { lambda}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3495e90b3d7a3a83ef3fc588fa57ad404dfcc03)
Şimdi yukarıdaki U ifademizi ekleyebiliriz (ε): ![{ displaystyle [U ( mathbf { epsilon})] ^ {N} = sol [1+ mathbf { epsilon} cdot nabla sağ] ^ {N} = sol [1 + { frac { mathbf { lambda} cdot nabla} {N}} sağ] ^ {N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad2a0ef075779d82c755325a35c8f2e64407f46)
Kimliği kullanma[11] ![{ displaystyle exp (x) = sol [1 + { frac {x} {N}} sağ] ^ {N},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cd3c66555f47bbb7bb2894720f878de7e958df)
sahibiz ![{ displaystyle U ( mathbf { lambda}) = exp sol ( mathbf { lambda} cdot nabla sağ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c958963a43826790b2d753d849fa657801c65a)
Ve U'dan beri (ε) f (x) = f (x+ε) sahibiz ![{ displaystyle [U ( mathbf { epsilon})] ^ {N} f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x} + N mathbf { epsilon}) = f ( mathbf {x } + mathbf { lambda}) = U ( mathbf { lambda}) f ( mathbf {x}) = exp left ( mathbf { lambda} cdot nabla right) f ( mathbf {x}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5619bd8b5f4c34ffa709845ca7015a5b6652e008)
Q.E.D. Teknik bir not olarak, bu prosedür yalnızca çeviri grubunun bir Abelian alt grup (Cartan alt cebiri ) Poincaré cebirinde. Özellikle, grup çarpım yasası U (a) U (b) = U (a+b) hafife alınmamalıdır. Ayrıca Poincaré'nin bağlantılı bir Lie grubu olduğunu da not ediyoruz. Sürekli bir gerçek parametreler kümesi ile tanımlanan bir T (ξ) dönüşüm grubudur. . Grup çarpma yasası biçimi alır ![{ displaystyle T ({ çubuğu { xi}}) T ( xi) = T (f ({ çubuğu { xi}}, xi)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd88c74a74d1a5ebbdf8ca32a089b8f7cada3e8)
Alma = 0 kimliğin koordinatları olarak, sahip olmamız gereken ![{ displaystyle f ^ {a} ( xi, 0) = f ^ {a} (0, xi) = xi ^ {a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a925a5cdbe9e74a7d755de003eb8cc4b429d73)
Hilbert uzayındaki gerçek operatörler, üniter operatörler U (T (ξ)) ile temsil edilir. Yukarıdaki gösterimde T'yi bastırdık; şimdi U yazıyoruz (λ) U olarak (P(λ)). Kimliğin etrafındaki küçük bir mahalle için, güç serisi temsili ![U (T ( xi)) = 1 + i sum_a xi ^ a t_a + frac {1} {2} sum_ {b, c} xi ^ b xi ^ c t_ {bc} + cdots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf90838f078fdf263c9b7d60d69ab2709938de2)
oldukça iyi. U (T (ξ)) 'nin yansıtmalı olmayan bir temsil oluşturduğunu varsayalım, yani ![{ displaystyle U (T ({ çubuğu { xi}})) U (T ( xi)) = U (T (f ({ çubuğu { xi}}, xi))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6a7f554f9b8f1739834f688fef3e166cc58df1)
F'nin ikinci kuvvete genişlemesi ![{ displaystyle f ^ {a} ({ bar { xi}}, xi) = xi ^ {a} + { bar { xi}} ^ {a} + toplamı _ {b, c} f ^ {abc} { bar { xi}} ^ {b} xi ^ {c}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa7f22da9852bf62579bd5559ef866fb7135545)
Temsil çarpım denklemini genişlettikten ve katsayıları eşitledikten sonra, önemsiz olmayan koşulumuz var ![{ displaystyle t_ {bc} = - t_ {b} t_ {c} -i sum _ {a} f ^ {abc} t_ {a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e586b4467092c145ea8bac28df5a2d7ab567e97c)
Dan beri tanım gereği endekslerinde simetriktir, biz standart Lie cebiri komütatör: ![{displaystyle [t_{b},t_{c}]=isum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=isum _{a}C^{abc}t_{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d682fb34fea7e6e3db932ef59372745c8e7bc54b)
C ile yapı sabiti. Çeviri üreteçleri, aşağıdakileri yapan kısmi türev operatörlerdir: ![{displaystyle left[{frac {partial }{partial x^{b}}},{frac {partial }{partial x^{c}}}
ight]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfdf13b5bcc7ed6bd7e78c471510e16087a8cc2d)
Bu, yapı sabitlerinin ortadan kalktığını ve dolayısıyla f genişlemesindeki ikinci dereceden katsayıların da kaybolduğunu gösterir. Bu, f'nin basitçe katkı maddesi olduğu anlamına gelir: ![{displaystyle f_{ ext{abelian}}^{a}({ar {xi }},xi )=xi ^{a}+{ar {xi }}^{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7bf3654b70ea0d5fc198ff6753edd776c384df)
ve dolayısıyla değişmeli gruplar için, ![{displaystyle U(T({ar {xi }}))U(T(xi ))=U(T({ar {xi }}+xi )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fd0a1fc4d824eac7a714572ef95ac47cf00658)
Q.E.D. |
Rotasyonlar
rotasyon operatörü ayrıca bir yönlü türev içerir. Bir açı için döndürme operatörü θ, yani θ = |θ| paralel bir eksen hakkında
= θ/ θ
![{displaystyle U(R(mathbf { heta } ))=exp(-imathbf { heta } cdot mathbf {L} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce02a5a04f300525bb462161b7d53afba18c5246)
Buraya L üreten vektör operatörüdür SỐ 3):
![{displaystyle mathbf {L} ={egin{pmatrix}0&0&0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeb97cf268895fdab634e42ccdabac86fef1184)