Bir topolojik grubun uzantısı - Extension of a topological group

İçinde matematik, daha spesifik olarak topolojik gruplar, topolojik grupların bir uzantısıveya a topolojik uzantı, bir kısa kesin dizi ${ displaystyle 0 dan H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0}$ nerede ${ displaystyle H, X}$ ve ${ displaystyle G}$ topolojik gruplar ve ${ displaystyle i}$ ve ${ displaystyle pi}$ görüntülerine de açık olan sürekli homomorfizmlerdir.^[1] Topolojik grupların her uzantısı bu nedenle bir grup uzantısı.

Topolojik grupların uzantılarının sınıflandırılması

Topolojik uzantıların

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

ve

${ displaystyle 0 dan H { stackrel {i '} { rightarrow}} X' { stackrel { pi '} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

topolojik bir izomorfizm varsa eşdeğerdir (veya uyumludur) ${ displaystyle T: X - X '}$ yapımı değişmeli Şekil 1'in diyagramı.

Şekil 1

Topolojik genişlemenin

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

bir bölünmüş uzantı (veya böler) önemsiz uzantıya eşdeğer ise

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i_ {H}} { rightarrow}} H times G { stackrel { pi _ {G}} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

nerede ${ displaystyle i_ {H}: H - H times G}$ ilk faktör yerine doğal katılımdır ve ${ displaystyle pi _ {G}: H times G ila G}$ ikinci faktör üzerindeki doğal izdüşümdür.

Topolojik genişlemenin kanıtlanması kolaydır. ${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$ sadece ve ancak sürekli bir homomorfizm varsa bölünür ${ displaystyle R: X rightarrow H}$ öyle ki ${ displaystyle R circ i}$ kimlik haritası üzerinde ${ displaystyle H}$

Topolojik uzantının ${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$ yalnızca ve ancak alt grup ${ displaystyle i (H)}$ bir topolojik doğrudan özet nın-nin ${ displaystyle X}$

Örnekler

• Al ${ displaystyle mathbb {R}}$ gerçek sayılar ve ${ displaystyle mathbb {Z}}$ tam sayılar. Al ${ displaystyle imath}$ doğal katılım ve ${ displaystyle pi}$ doğal projeksiyon. Sonra

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} { stackrel { imath} { to}} mathbb {R} { stackrel { pi} { to}} mathbb {R} / mathbb {Z } - 0}$

topolojik değişmeli grupların bir uzantısıdır. Aslında bölünmeyen bir uzantı örneğidir.

Yerel olarak kompakt değişmeli grupların uzantıları (LCA)

Topolojik değişmeli grupların bir uzantısı kısa bir kesin dizi olacaktır ${ displaystyle 0 dan H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0}$ nerede ${ displaystyle H, X}$ ve ${ displaystyle G}$ vardır yerel olarak kompakt değişmeli gruplar ve ${ displaystyle i}$ ve ${ displaystyle pi}$ nispeten açık sürekli homomorfizmlerdir.^[2]

• Yerel olarak kompakt değişmeli grupların bir uzantısı olalım

${ displaystyle 0 - H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G - 0.}$

Al ${ displaystyle H ^ { wedge}, X ^ { wedge}}$ ve ${ displaystyle G ^ { wedge}}$ Pontryagin ikilileri nın-nin ${ displaystyle H, X}$ ve ${ displaystyle G}$ ve Al ${ displaystyle i ^ { wedge}}$ ve ${ displaystyle pi ^ { kama}}$ ikili haritaları ${ displaystyle i}$ ve ${ displaystyle pi}$. Sonra sıra

${ displaystyle 0 to G ^ { wedge} { stackrel { pi ^ { wedge}} { to}} X ^ { wedge} { stackrel { imath ^ { wedge}} { to }} H ^ { wedge} ila 0}$

yerel olarak kompakt değişmeli grupların bir uzantısıdır.

Referanslar