Yukarı çıkmak ve aşağı inmek

İçinde değişmeli cebir bir dalı matematik, Yukarı çıkmak ve inme belirli özelliklerine atıfta bulunan terimlerdir zincirler nın-nin ana idealler içinde integral uzantılar.

İfade Yukarı çıkmak bir zincirin "yukarı doğru" uzatılabildiği durumu ifade eder. dahil etme ", süre inme "aşağıya doğru dahil" ile bir zincirin uzatılabildiği durumu ifade eder.

Başlıca sonuçlar Cohen-Seidenberg teoremleritarafından kanıtlandı Irvin S. Cohen ve Abraham Seidenberg. Bunlar olarak bilinir yükselen ve aşağı inme teoremleri.

İzin Vermek Bir ⊆ B fasulye değişmeli halkaların uzantısı.

Yukarı ve aşağı inen teoremler, bir asal idealler zinciri için yeterli koşulları sağlar. Bher bir üyesi, daha uzun bir ana idealler zincirinin üyeleri üzerinde yer alır. Bir, ana idealler zincirinin uzunluğuna kadar uzatılabilme Bir.

Yalan söylemek ve kıyaslanamazlık

İlk önce bazı terminolojiyi düzeltiriz. Eğer ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ ve ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ vardır ana idealler nın-nin Bir ve Bsırasıyla öyle ki

{ displaystyle { mathfrak {q}} cap A = { mathfrak {p}}}

(Bunu not et ${ displaystyle { mathfrak {q}} cap A}$ otomatik olarak ideal bir Bir) sonra bunu söyleriz ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ altında yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ ve şu ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ üzerinde yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ . Genel olarak, bir halka uzantısı Bir ⊆ B değişmeli halkaların mülk üzerinde uzanmak her asal idealse ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ nın-nin Bir bazı temel ideallerin altında yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ nın-ninB.

Uzantı Bir ⊆ B tatmin ettiği söyleniyor karşılaştırılamazlık özelliği ne zaman olursa olsun ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ ve ${ displaystyle { mathfrak {q}} '}$ farklı asallardır B baştan aşağı yatmak ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ içinde Bir, sonra ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ ⊈ ${ displaystyle { mathfrak {q}} '}$ ve ${ displaystyle { mathfrak {q}} '}$ ⊈ ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ .

Yukarı çıkma

Halka uzantısı Bir ⊆ B tatmin ettiği söyleniyor yükselen mülk ne zaman olursa olsun

{ displaystyle { mathfrak {p}} _ {1} subseteq { mathfrak {p}} _ {2} subseteq cdots subseteq { mathfrak {p}} _ {n}}

bir zincir ana idealler nın-nin Bir ve

{ displaystyle { mathfrak {q}} _ {1} subseteq { mathfrak {q}} _ {2} subseteq cdots subseteq { mathfrak {q}} _ {m}}

(m < n) ana idealler zinciridir B öyle ki her 1 ≤ben ≤ m, ${ displaystyle { mathfrak {q}} _ {i}}$ üzerinde yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ , daha sonra ikinci zincir bir zincire uzatılabilir

{ displaystyle { mathfrak {q}} _ {1} subseteq { mathfrak {q}} _ {2} subseteq cdots subseteq { mathfrak {q}} _ {n}}

öyle ki her 1 ≤ben ≤ n, ${ displaystyle { mathfrak {q}} _ {i}}$ üzerinde yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ .

İçinde (Kaplansky 1970 ) bir uzantı varsa Bir ⊆ B yükselme özelliğini tatmin ederse, yatma özelliğini de tatmin eder.

İnme

Halka uzantısı Bir ⊆ B tatmin ettiği söyleniyor düşen mülk ne zaman olursa olsun

{ displaystyle { mathfrak {p}} _ {1} supseteq { mathfrak {p}} _ {2} supseteq cdots supseteq { mathfrak {p}} _ {n}}

ana idealler zinciridir Bir ve

{ displaystyle { mathfrak {q}} _ {1} supseteq { mathfrak {q}} _ {2} supseteq cdots supseteq { mathfrak {q}} _ {m}}

(m < n) ana idealler zinciridir B öyle ki her 1 ≤ben ≤ m, ${ displaystyle { mathfrak {q}} _ {i}}$ üzerinde yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ , daha sonra ikinci zincir bir zincire uzatılabilir

{ displaystyle { mathfrak {q}} _ {1} supseteq { mathfrak {q}} _ {2} supseteq cdots supseteq { mathfrak {q}} _ {n}}

öyle ki her 1 ≤ben ≤ n, ${ displaystyle { mathfrak {q}} _ {i}}$ üzerinde yatıyor ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ .

Halka morfizmli halka uzatma durumunun bir genellemesi vardır. İzin Vermek f : Bir → B bir (ünital) halka homomorfizmi Böylece B bir halka uzantısıdır f(Bir). Sonra f tatmin ettiği söyleniyor yükselen mülk devam eden mülk tutarsa f(Bir) içindeB.

Benzer şekilde, if B bir halka uzantısıdır f(Bir), sonra f tatmin ettiği söyleniyor düşen mülk aşağı inen mülk geçerli olursa f(Bir) içinde B.

Gibi sıradan halka uzantıları durumunda Bir ⊆ B, dahil etme haritası ilgili haritadır.

Yukarı ve aşağı inme teoremleri

Yukarı ve aşağı inme teoremlerinin olağan ifadeleri bir halka uzantısına atıfta bulunur. Bir ⊆ B:

(Yukarı çıkıyor) Eğer B bir integral uzantı nın-nin Bir, bu durumda uzantı, yükselme özelliğini (ve dolayısıyla yatma özelliğini) ve karşılaştırılamazlık özelliğini karşılar.
(Aşağı iniyor) Eğer B ayrılmaz bir uzantısıdır Bir, ve B bir alandır ve Bir kesirler alanında integral olarak kapalıdır, daha sonra uzantı (yukarı çıkma, uzanma ve karşılaştırılamazlığa ek olarak) aşağı inme özelliğini karşılar.

Aşağı inen mülk için yeterli başka bir koşul daha vardır:

Eğer Bir⊆B bir düz uzatma değişmeli halkaların sayısı, sonra aşağı inme özelliği devam eder.^[1]

Kanıt:^[2] İzin Vermek p₁ ⊆ p₂ ana ideal olmak Bir ve izin ver q₂ ideal olmak B öyle ki q₂ ∩ Bir = p₂. Temel bir ideal olduğunu kanıtlamak istiyoruz q₁ nın-nin B içerdiği q₂ öyle ki q₁ ∩ Bir = p₁. Dan beri Bir ⊆ B halkaların düz bir uzantısıdır, bunu takip eder Bir_p₂ ⊆ B_q₂ halkaların düz bir uzantısıdır. Aslında, Bir_p₂ ⊆ B_q₂ dahil etme haritasından beri halkaların aslına uygun düz bir uzantısıdır Bir_p₂ → B_q₂ yerel bir homomorfizmdir. Bu nedenle, spektrumlarda indüklenen harita Spec (B_q₂) → Özel (Bir_p₂) kapsayıcıdır ve temel bir ideali vardır B_q₂ ana idealle sözleşme yapan p₁Bir_p₂ nın-nin Bir_p₂. Bu asal idealin daralması B_q₂ -e B ana ideal q₁ nın-nin B içerdiği q₂ sözleşmeli p₁. Kanıt tamamlandı.Q.E.D.

Referanslar

^ Bu Bruns-Herzog, Lemma A.9'daki çok daha genel bir lemmanın 415. sayfasından kaynaklanmaktadır.
^ Matsumura, sayfa 33, (5.D), Teorem 4

Atiyah, M.F., ve I. G. Macdonald, Değişmeli Cebire GirişPerseus Kitapları, 1969, ISBN 0-201-00361-9 BAY242802
Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay yüzükleri. İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 s. ISBN 0-521-41068-1
Cohen, I.S .; Seidenberg, A. (1946). "Asal idealler ve bütünsel bağımlılık". Boğa. Amer. Matematik. Soc. 52 (4): 252–261. doi:10.1090 / s0002-9904-1946-08552-3. BAY 0015379.
Kaplansky, Irving, Değişmeli halkalar, Allyn ve Bacon, 1970.
Matsumura, Hideyuki (1970). Değişmeli cebir. W. A. Benjamin. ISBN 978-0-8053-7025-6.
Sharp, R.Y. (2000). "13 Alt kaynaklara integral bağımlılık (13.38 Yukarı gidiş teoremi, s. 258–259; 13.41 Aşağı inme teoremi, s. 261–262)". Değişmeli cebirdeki adımlar. London Mathematical Society Öğrenci Metinleri. 51 (İkinci baskı). Cambridge: Cambridge University Press. s. xii + 355. ISBN 0-521-64623-5. BAY 1817605.

[1] Bu Bruns-Herzog, Lemma A.9'daki çok daha genel bir lemmanın 415. sayfasından kaynaklanmaktadır.

[2] Matsumura, sayfa 33, (5.D), Teorem 4

[1]

[2]