Koopman – von Neumann klasik mekanik - Koopman–von Neumann classical mechanics - Wikipedia

Koopman – von Neumann mekaniği açısından klasik mekaniğin bir açıklamasıdır Hilbert uzayı, tarafından tanıtıldı Bernard Koopman ve John von Neumann sırasıyla 1931 ve 1932'de.[1][2][3]

Koopman ve von Neumann'ın gösterdiği gibi, Hilbert uzayı nın-nin karmaşık, kare entegre edilebilir Dalga fonksiyonları, klasik mekaniğin benzer bir operatoryal teori olarak formüle edilebildiği tanımlanabilir. Kuantum mekaniği.

Tarih

Istatistik mekaniği makroskopik sistemleri açısından açıklar istatistiksel topluluklar, örneğin bir Ideal gaz. Ergodik teori, istatistiksel mekanik çalışmalarından doğan bir matematik dalıdır.

Ergodik teori

Koopman-von Neumann (KvN) teorisinin kökenleri, yükselişle sıkı sıkıya bağlantılıdır.[ne zaman? ] nın-nin ergodik teori bağımsız bir matematik dalı olarak, özellikle Boltzmann's ergodik hipotez.

1931'de Koopman ve André Weil klasik sistemin faz uzayının, skaler çarpımın tanımı olarak faz uzayının noktaları üzerinde doğal bir entegrasyon kuralı varsayılarak bir Hilbert uzayına dönüştürülebileceğini ve bu dönüşümün evrimle ilgili ilginç sonuçların çıkarılmasına izin verdiğini bağımsız olarak gözlemledik. fiziksel gözlemlenebilirlerin oranı Stone teoremi, kısa bir süre önce kanıtlanmıştı. Bu bulgu, von Neumann'a yeni biçimciliği ergodik soruna uygulama konusunda ilham verdi. Daha 1932'de şu anda Koopman-von Neumann teorisi olarak bilinen klasik mekaniğin operatör reformülasyonunu tamamladı. Daha sonra, modern ergodik teoride birkaç yeni ufuk açıcı sonuç yayınladı. ortalama ergodik teorem.

Tanım ve dinamikler

Liouville denkleminden başlayan türetme

Koopman ve von Neumann'ın yaklaşımında (KvN), dinamikler faz boşluğu Altta yatan bir dalga fonksiyonundan (Koopman-von Neumann dalga fonksiyonu) geri kazanılan bir (klasik) olasılık yoğunluğu ile mutlak değerinin karesi olarak tanımlanır (daha doğrusu, genlik kendisiyle çarpıldığında) karmaşık eşlenik ). Bu, Doğuş kuralı kuantum mekaniğinde. KvN çerçevesinde, gözlemlenebilirler, kendi kendine eşlenik operatörlerin Hilbert uzayı KvN dalga fonksiyonları. Değişebilirlik fiziksel olarak tüm gözlenebilirlerin aynı anda ölçülebilir olduğunu ima eder. Bunu, gözlemlenebilirlerin işe gidip gelmek zorunda olmadığı kuantum mekaniğiyle karşılaştırın, bu da belirsizlik ilkesi, Kochen-Specker teoremi, ve Bell eşitsizlikleri.[4]

KvN dalga fonksiyonunun tamamen aynı şekilde geliştiği varsayılır. Liouville denklemi klasik olasılık yoğunluğu olarak. Bu varsayımdan, gerçekten olasılık yoğunluk dinamiklerinin geri kazanıldığı gösterilebilir.

Operatör aksiyomlarından başlayan türetme

Tersine, operatör postülalarından başlamak mümkündür. Hilbert uzayı kuantum mekaniğinin aksiyomları ve beklenti değerlerinin nasıl geliştiğini belirleyerek hareket denklemini türetin.[7]

İlgili aksiyomlar, kuantum mekaniğinde (i) olduğu gibi, bir sistemin durumlarının karmaşık bir Hilbert uzayının normalleştirilmiş vektörleriyle temsil edilmesi ve gözlemlenebilirlerin öz-eş operatörler o uzay üzerinde hareket ederek, (ii) bir gözlemlenebilirin beklenti değeri, şu şekilde elde edilir: kuantum mekaniğinde beklenti değeri, (iii) bazı gözlenebilirlerin belirli değerlerinin ölçülme olasılıkları, Doğuş kuralı ve (iv) bir kompozit sistemin durum uzayı, tensör ürünü altsistemin uzayları.