İçinde karmaşık analiz, bir kısmi kesir açılımı yazmanın bir yolu meromorfik fonksiyon f (z) sonsuz toplamı olarak rasyonel işlevler ve polinomlar. Ne zaman f (z) rasyonel bir işlevdir, bu olağan duruma indirgenir kısmi kesirler yöntemi.
Motivasyon
Kullanarak polinom uzun bölme ve cebirden kısmi kesir tekniği, herhangi bir rasyonel fonksiyon, formun terimlerinin bir toplamı olarak yazılabilir 1 / (az + b)k + p (z), nerede a ve b karmaşık k bir tamsayıdır ve p (z) bir polinomdur. Tıpkı polinom çarpanlarına ayırma genelleştirilebilir Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi, belirli meromorfik fonksiyonlar için kısmi kesir açılımlarına bir benzetme vardır.
Uygun bir rasyonel işlev, yani derece Paydanın% 'si pay derecesinden daha büyük, polinom terimleri içermeyen kısmi bir kesir genişlemesine sahip. Benzer şekilde, bir meromorfik fonksiyon f (z) bunun için |f (z)| olarak 0'a gider z en az | kadar hızlı sonsuza gider1 / z|, polinom terimleri içermeyen bir genişlemeye sahiptir.
Hesaplama
İzin Vermek f (z) ile sonlu karmaşık düzlemde meromorfik bir fonksiyon olmak kutuplar -de λ1, λ2, ..., ve izin ver (Γ1, Γ2, ...) aşağıdaki gibi basit kapalı eğriler dizisi olmalıdır:
- Kökeni her eğrinin içinde yer alır Γk
- Hiçbir eğri bir kutbun içinden geçmez f
- Γk içeride yatıyor Γk + 1 hepsi için k
, nerede d (Γk) eğriden başlangıç noktasına olan mesafeyi verir
Ayrıca bir tamsayı olduğunu varsayalım p öyle ki
![lim _ {{kightarrow infty}} oint _ {{Gamma _ {k}}} sol | {frac {f (z)} {z ^ {{p + 1}}}} ight || dz | <infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be387bc0271f3ba128b090755bc9b76af804b538)
PP yazma (f (z); z = λk) için ana bölüm of Laurent genişlemesi nın-nin f konu hakkında λk, sahibiz
![f (z) = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} operatöradı {PP} (f (z); z = lambda _ {k}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9809e49ae5fc3547631d0ecdd9497e96dc80a23)
Eğer p = -1, ve eğer p> -1,
![f (z) = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} (operatör adı {PP} (f (z); z = lambda _ {k}) + c _ {{0, k}} + c_ {{1, k}} z + cdots + c _ {{p, k}} z ^ {p}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f33f9efc8a26ae6bf28d496499c4b0ace3a238)
katsayılar nerede cj, k tarafından verilir
![c _ {{j, k}} = operatör adı {Res} _ {{z = lambda _ {k}}} {frac {f (z)} {z ^ {{j + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de03bbe214f4003fb1f93ef177d7d0268f4ae867)
λ0 0 olarak ayarlanmalıdır çünkü olsa bile f (z) kendisinin 0'da bir kutbu yoktur, kalıntılar nın-nin f (z) / zj + 1 -de z = 0 yine de toplama dahil edilmelidir.
Λ durumunda0 = 0, Laurent açılımını kullanabiliriz f (z) alınacak kökeni hakkında
![f (z) = {frac {a _ {{- m}}} {z ^ {m}}} + {frac {a _ {{- m + 1}}} {z ^ {{m-1}}}} + cdots + a_ {0} + a_ {1} z + cdots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfa4996f03261e0b223b7a8f70f39101a1c5a83)
![c _ {{j, k}} = operatör adı {Res} _ {{z = 0}} sola ({frac {a _ {{- m}}} {z ^ {{m + j + 1}}}} + { frac {a _ {{- m + 1}}} {z ^ {{m + j}}}} + cdots + {frac {a_ {j}} {z}} + cdots ight) = a_ {j},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7163f9b82cbcf1d4f1288813c1c3c2e0ba6cd804)
![toplam _ {{j = 0}} ^ {p} c _ {{j, k}} z ^ {j} = a_ {0} + a_ {1} z + cdots + a_ {p} z ^ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e24f37ecc1535f9b1776182e03dc6bea5a5896)
böylece katkıda bulunan polinom terimleri tam olarak normal bölüm Laurent serisinin zp.
Diğer kutuplar için λk nerede k ≥ 1, 1 / zj + 1 dışarı çekilebilir kalıntı hesaplamalar:
![c _ {{j, k}} = {frac {1} {lambda _ {k} ^ {{j + 1}}}} operatör adı {Res} _ {{z = lambda _ {k}}} f (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934070b072985506f6428dfe5db31296cd6abe3d)
![toplam _ {{j = 0}} ^ {p} c _ {{j, k}} z ^ {j} = [operatör adı {Res} _ {{z = lambda _ {k}}} f (z)] toplamı _ {{j = 0}} ^ {p} {frac {1} {lambda _ {k} ^ {{j + 1}}}} z ^ {j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c6284c7bc74e6a8b46f1c3cd669d822572ca23)
Yakınsama ile ilgili sorunları önlemek için, kutuplar sıralanmalıdır, böylece λk içeride Γn, sonra λj ayrıca içeriden hepsi için j < k.
Misal
Sonsuz sayıda kutbu olan meromorf fonksiyonların en basit örnekleri, tüm olmayan trigonometrik fonksiyonlardır, bu nedenle tan (z). tan (z) kutupları ile meromorfiktir (n + 1/2) π, n = 0, ± 1, ± 2, ... Konturlar Γk köşeleri olan kareler olacak ± πk ± πki saat yönünün tersine geçti, k > 1, gerekli koşulları sağladığı kolaylıkla görülebilir.
Yatay kenarlarında Γk,
![z = tpm pi ki, kalay [-pi k, pi k],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c110193122a94de152b8b3a78e807c9bebd846b)
yani
![| an (z) | ^ {2} = sol | {frac {sin (t) cosh (pi k) pm icos (t) sinh (pi k)} {cos (t) cosh (pi k) pm isin (t) sinh (pi k)}} ight | ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fa88b248b44c9130b0cff3c0d0f8cef04c017f)
![| an (z) | ^ {2} = {frac {sin ^ {2} (t) cosh ^ {2} (pi k) + cos ^ {2} (t) sinh ^ {2} (pi k)} { cos ^ {2} (t) cosh ^ {2} (pi k) + sin ^ {2} (t) sinh ^ {2} (pi k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bb8496887fa9e59139bfc0bccf8324bee6cc52)
sinh (x) x) tamamen gerçek x, veren
![| bir (z) | ^ {2} <{frac {cosh ^ {2} (pi k) (günah ^ {2} (t) + cos ^ {2} (t))} {sinh ^ {2} (pi k) (cos ^ {2} (t) + sin ^ {2} (t))}} = coth ^ {2} (pi k)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1779bd12ad753c12f2adbbb210f59082dc2a571e)
İçin x > 0, coth (x) süreklidir, azalır ve 1 ile sınırlandırılır, bu nedenle Γk, | tan (z) | π). Benzer şekilde, | tan (z) | <1 dikey kenarlarında Γk.
Bu sınırla | tan (z) | bunu görebiliriz
![oint _ {{Gama _ {k}}} sol | {frac {an (z)} {z}} ight | dzleq operatör adı {uzunluk} (Gama _ {k}) maks _ {{zin Gama _ {k}} } sol | {frac {an (z)} {z}} ight | <8kpi {frac {coth (pi)} {kpi}} = 8coth (pi) <infty.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0dd454391b2d7c71b1bfaf85120f2ea764a1ce3)
(Maksimum | 1 /z| açık Γk en az |z| olan kπ).
Bu nedenle p = 0 ve tabanın kısmi fraksiyon genişlemesi (z) gibi görünüyor
![an (z) = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} (operatöradı {PP} (an (z); z = lambda _ {k}) + operatör adı {Res} _ {{z = lambda _ {k}}} {frac {an (z)} {z}}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b192942d791083de33adc659a7c76cf629b634a7)
Ana parçalar ve kalıntılar bronzluğun tüm kutupları gibi hesaplanması yeterince kolaydır (z) basittir ve -1 kalıntısına sahiptir:
![operatöradı {PP} (an (z); z = (n + {frac {1} {2}}) pi) = {frac {-1} {z- (n + {frac {1} {2}}) pi} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049f5b182068663b6bd3526af0a4be4bd4b66df4)
![operatör adı {Res} _ {{z = (n + {frac {1} {2}}) pi}} {frac {an (z)} {z}} = {frac {-1} {(n + {frac {1 } {2}}) pi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5120a572e3931f2ff4d73a2dae3a5006dfa5d2)
Görmezden gelebiliriz λ0 = 0, çünkü hem bronzluk (z) ve bronzluk (z)/z 0'da analitiktir, bu nedenle toplama katkı yoktur ve kutupları sıralamak λk Böylece λ1 = π/2, λ2 = -π/2, λ3 = 3π/ 2 vb. Verir
![an (z) = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} sol [sol ({frac {-1} {z- (k + {frac {1} {2}}) pi}} - { frac {1} {(k + {frac {1} {2}}) pi}} ight) + sol ({frac {-1} {z + (k + {frac {1} {2}}) pi}} + { frac {1} {(k + {frac {1} {2}}) pi}} ight) ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4fc5b2892b34d59b63ba9d175a2008ede88804)
![an (z) = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} {frac {-2z} {z ^ {2} - (k + {frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068a9ca17f0436f8cb1e3b6063a6d2ecc5ff4ecc)
Başvurular
Sonsuz ürünler
Kısmi kesir genişlemesi genellikle şu toplamları verir: 1 / (a + bz), bir işlevi bir işlev olarak yazmanın bir yolunu bulmada yararlı olabilir. sonsuz ürün; her iki tarafı da entegre etmek bir logaritma toplamı verir ve üsleme, istenen ürünü verir:
![an (z) = - toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} left ({frac {1} {z- (k + {frac {1} {2}}) pi}} + {frac { 1} {z + (k + {frac {1} {2}}) pi}} ışık)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a4a1d17be356261fa9cd17b765dee6d4a2ee76)
![int _ {0} ^ {z} an (w) dw = günlük saniye z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c632dc71fd1a3b7ec183338038679018b9f9ea24)
![int _ {0} ^ {z} {frac {1} {wpm (k + {frac {1} {2}}) pi}} dw = günlük sol (13:00 {frac {z} {(k + {frac {1} {2}}) pi}} ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2254f76a2c4e63baa78d9794b126d580ec2553ee)
Bazı logaritma kuralları uygulamak,
![günlük saniye z = -sum _ {{k = 0}} ^ {{infty}} sola (günlük sola (1- {frac {z} {(k + {frac {1} {2}}) pi}} ight) + sola günlük (1+ {frac {z} {(k + {frac {1} {2}}) pi}} sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1299fd2025a226f7713c740b15c84c269ecd18)
![günlük cos z = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} günlük sola (1- {frac {z ^ {2}} {(k + {frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2}}} ight),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20d34ddd73041ba6fc077d9eb9f25533a92d0fe)
sonunda veren
![cos z = prod _ {{k = 0}} ^ {{infty}} left (1- {frac {z ^ {2}} {(k + {frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2}}} sağ).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd065c9652188ca6e48cc01369c8df0440d9ecd1)
Laurent serisi
Bir fonksiyonun kısmi kesir açılımı, aynı zamanda, basitçe toplamdaki rasyonel fonksiyonları Laurent serileriyle değiştirerek onun için bir Laurent serisini bulmak için de kullanılabilir; bunlar genellikle kapalı formda yazılması zor değildir. Laurent serisi zaten biliniyorsa, bu aynı zamanda ilginç kimliklere de yol açabilir.
Hatırlamak
![an (z) = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} {frac {-2z} {z ^ {2} - (k + {frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2}}} = toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} {frac {-8z} {4z ^ {2} - (2k + 1) ^ {2} pi ^ {2}} }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db2ca2ffb29a11b1527fb5cf1e33ec51c92f19b)
Summand'ı geometrik bir dizi kullanarak genişletebiliriz:
![{frac {-8z} {4z ^ {2} - (2k + 1) ^ {2} pi ^ {2}}} = {frac {8z} {(2k + 1) ^ {2} pi ^ {2} }} {frac {1} {1 - ({frac {2z} {(2k + 1) pi}}) ^ {2}}} = {frac {8} {(2k + 1) ^ {2} pi ^ {2}}} toplam _ {{n = 0}} ^ {{infty}} {frac {2 ^ {{2n}}} {(2k + 1) ^ {{2n}} pi ^ {{2n}} }} z ^ {{2n + 1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112563e450877b0cf6b32664adc61cb8e15667a6)
Geri ikame etmek,
![an (z) = 2sum _ {{k = 0}} ^ {{infty}} toplam _ {{n = 0}} ^ {{infty}} {frac {2 ^ {{2n + 2}}} {( 2k + 1) ^ {{2n + 2}} pi ^ {{2n + 2}}}} z ^ {{2n + 1}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdfdb81a5b030174af717b3dd960a3f3e7aa201)
bu, katsayıların an Laurent (Taylor) serisinde tan (z) hakkında z = 0
![a _ {{2n + 1}} = {frac {T _ {{2n + 1}}} {(2n + 1)!}} = {frac {2 ^ {{2n + 3}}} {pi ^ {{2n +2}}}} toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} {frac {1} {(2k + 1) ^ {{2n + 2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773fb0abc3046f36effa29c7a6e651771cb45a17)
![a _ {{2n}} = {frac {T _ {{2n}}} {(2n)!}} = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef10f43916bf1f9b14443d4d8b6584e5de94aaa7)
nerede Tn bunlar teğet sayılar.
Tersine, bu formülü bronzluk için Taylor genişlemesiyle karşılaştırabiliriz (z) sonsuz toplamları hesaplamak için yaklaşık z = 0:
![an (z) = z + {frac {1} {3}} z ^ {3} + {frac {2} {15}} z ^ {5} + cdots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f49d88c987af6b21a693f9b8c613546c008884)
![toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} {frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}} = {frac {pi ^ {2}} {2 ^ {3}}} = {frac {pi ^ {2}} {8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844355efa65484b81329b11c09548a18dce5e731)
![toplam _ {{k = 0}} ^ {{infty}} {frac {1} {(2k + 1) ^ {4}}} = {frac {1} {3}} {frac {pi ^ {4} } {2 ^ {5}}} = {frac {pi ^ {4}} {96}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e69feaa8cdeb51c09316ef9ffb251827bbe594)
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Markushevich, A.I. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının teorisi. Trans. Richard A. Silverman. Cilt 2. Englewood Kayalıkları, NJ: Prentice-Hall, 1965.