Paskal kuralı - Pascals rule - Wikipedia

İçinde matematik, Pascal kuralı (veya Pascal'ın formülü) bir kombinatoryal Kimlik hakkında iki terimli katsayılar. Olumlu olduğunu belirtir doğal sayılar n ve k,

nerede iki terimli bir katsayıdır; bir yorumu katsayısı olan xk terim genişleme nın-nin (1 + x)n. Göreceli boyutlarında herhangi bir kısıtlama yoktur. n ve k,[1] o zamandan beri, eğer n < k binom katsayısının değeri sıfırdır ve kimlik geçerli kalır.

Pascal kuralı aynı zamanda formülün

doğrusal iki boyutlu fark denklemini çözer

doğal sayıların üzerinde. Bu nedenle, Pascal kuralı aynı zamanda içinde görünen sayılar için bir formül hakkında bir ifadedir. Pascal üçgeni.


Pascal kuralı ayrıca genelleştirilebilir. multinom katsayıları.

Kombinatoryal kanıt

Pascal'ın kural, bu sayım ispatında açıkça ifade edilen sezgisel bir kombinasyonel anlama sahiptir.[2]

Kanıt. Hatırlamak sayısına eşittir alt kümeler ile k bir Ayarlamak ile n elementler. Belirli bir öğenin benzersiz şekilde etiketlendiğini varsayalım X bir sette n elementler.

Bir alt kümesini oluşturmak için k içeren öğeler X, Seç X ve k - Kalanlardan 1 öğe n - Sette 1 eleman. Var bu tür alt kümeler.

Bir alt kümesini oluşturmak için k elementler değil kapsamak X, Seç k Kalan öğeler n - Sette 1 eleman. Var bu tür alt kümeler.

Her alt kümesi k öğeler ya içerir X ya da değil. Alt kümelerin toplam sayısı k bir dizi içindeki öğeler n öğeler, içeren alt kümelerin sayısının toplamıdır X ve içermeyen alt kümelerin sayısı X, .

Bu eşittir ; bu nedenle .

Cebirsel kanıt

Alternatif olarak, iki terimli durumun cebirsel türetilmesi takip eder.

Genelleme

Pascal kuralı, çok terimli katsayılara genellenebilir.[3] Herhangi tamsayı p öyle ki , ve ,

nerede katsayısı genişlemesindeki terim .

Bu genel durum için cebirsel türetme aşağıdaki gibidir.[3] İzin Vermek p öyle bir tam sayı olmak , ve . Sonra

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Mazur, David R. (2010), Kombinatorik / Rehberli TurAmerika Matematik Derneği, s. 60, ISBN  978-0-88385-762-5
  2. ^ Brualdi Richard A. (2010), Giriş Kombinatorikleri (5. baskı), Prentice-Hall, s. 44, ISBN  978-0-13-602040-0
  3. ^ a b Brualdi Richard A. (2010), Giriş Kombinatorikleri (5. baskı), Prentice-Hall, s. 144, ISBN  978-0-13-602040-0

Kaynakça

Dış bağlantılar

Bu makale şu kaynaklara ait malzemeleri içermektedir: Pascal üçgeni açık PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.

Bu makale şu kaynaklara ait malzemeleri içermektedir: Pascal'ın kural kanıtı açık PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.