Yüzeyler için Riemann-Roch teoremi - Riemann–Roch theorem for surfaces

Matematikte Yüzeyler için Riemann-Roch teoremi doğrusal sistemlerin boyutunu açıklar cebirsel yüzey. Klasik formu ilk olarak Castelnuovo  (1896, 1897 ), ön versiyonları tarafından bulunduktan sonra Noether  (1886 ) ve (1894 ). demet -teorik versiyon Hirzebruch'a bağlıdır.

Beyan

Riemann-Roch teoreminin bir formu, eğer D tekil olmayan bir yansıtmalı yüzey üzerinde bölen ise

${ displaystyle chi (D) = chi (0) + { tfrac {1} {2}} D. (D-K) ,}$

nerede χ holomorfik Euler karakteristiği, nokta . ... kavşak numarası, ve K kanonik bölen. Χ (0) sabiti, önemsiz demetin holomorfik Euler karakteristiğidir ve 1 + 'ya eşittir.p_a, nerede p_a ... aritmetik cins yüzeyin. Karşılaştırma için, bir eğri için Riemann-Roch teoremi, χ (D) = χ (0) + derece (D).

Noether'in formülü

Noether's formül şunu belirtir:

${ displaystyle chi = { frac {c_ {1} ^ {2} + c_ {2}} {12}} = { frac {(K.K) + e} {12}}}$

χ = χ (0) holomorfik Euler karakteristiğidir, c₁² = (K.K) bir Chern numarası ve kanonik sınıfın kendi kendine kesişme numarası K, ve e = c₂ topolojik Euler özelliğidir. Riemann-Roch teoremindeki χ (0) terimini topolojik terimlerle değiştirmek için kullanılabilir; bu verir Hirzebruch – Riemann – Roch teoremi yüzeyler için.

Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi ile ilişki

Yüzeyler için Hirzebruch – Riemann – Roch teoremi esasen Noether formülü ile birleştirilen yüzeyler için Riemann-Roch teoremidir. Bunu görmek için, her bölen için hatırlayın D bir yüzeyde bir ters çevrilebilir demet L = O (D) öyle ki doğrusal sistem D aşağı yukarı bölümlerin alanıdır L. Yüzeyler için Todd sınıfı ${ displaystyle 1 + c_ {1} (X) / 2 + (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X)) / 12}$ve demetinin Chern karakteri L sadece ${ displaystyle 1 + c_ {1} (L) + c_ {1} (L) ^ {2} / 2}$, bu nedenle Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi şunu belirtir:

${ displaystyle { başlar {hizalı} chi (D) & = h ^ {0} (L) -h ^ {1} (L) + h ^ {2} (L) & = { frac { 1} {2}} c_ {1} (L) ^ {2} + { frac {1} {2}} c_ {1} (L) , c_ {1} (X) + { frac {1 } {12}} left (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) sağ) end {hizalı}}}$

Neyse ki bu, aşağıdaki gibi daha net bir biçimde yazılabilir. İlk koyma D = 0 bunu gösterir

${ displaystyle chi (0) = { frac {1} {12}} sol (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) sağ)}$ (Noether'in formülü)

Ters çevrilebilir kasnaklar (çizgi demetleri) için ikinci Chern sınıfı kaybolur. İkinci kohomoloji sınıflarının ürünleri, içindeki kesişme numaraları ile tanımlanabilir. Picard grubu ve yüzeyler için daha klasik bir Riemann Roch versiyonu elde ediyoruz:

${ displaystyle chi (D) = chi (0) + { frac {1} {2}} (D.D-D.K)}$

İstersek kullanabiliriz Serre ikiliği ifade etmek h²(Ö(D)) gibi h⁰(Ö(K − D)), ancak eğrilerden farklı olarak genel olarak yazmanın kolay bir yolu yoktur. h¹(Ö(D)) demet kohomolojisini içermeyen bir biçimde terim (pratikte genellikle yok olmasına rağmen).

Erken sürümler

Yüzeyler için Riemann-Roch teoreminin en eski formları, genellikle bir eşitlikten ziyade bir eşitsizlik olarak ifade edildi, çünkü ilk kohomoloji gruplarının doğrudan geometrik tanımı yoktu. Tipik bir örnek şu şekilde verilmektedir: Zariski (1995), s. 78), bunu belirtir

${ displaystyle r geq n- pi + p_ {a} + 1-i}$

nerede

• r tam lineer sistemin boyutudur |D| bölen D (yani r = h⁰(Ö(D)) −1)
• n ... sanal derece nın-nin D, kendi kendine kesişme numarasıyla verilir (D.D)
• π sanal cins nın-nin D1 + (D.D + K.D) / 2'ye eşit
• p_a ... aritmetik cins χ (O_F) - yüzeyin 1'i
• ben ... uzmanlık endeksi nın-nin D, loşa eşit H⁰(Ö(K − D)) (Serre dualitesi ile dim ile aynıdır H²(O (D))).

Bu eşitsizliğin iki tarafı arasındaki fark, aşırı bolluk s bölen D. Bu eşitsizliği Riemann-Roch teoreminin demet-teorik versiyonuyla karşılaştırmak, aşırı bolluğun D tarafından verilir s = sönük H¹(Ö(D)). Bölen D aradı düzenli Eğer ben = s = 0 (veya başka bir deyişle, O'nun tüm yüksek kohomoloji grupları (D) kaybolur) ve çok fazla Eğers > 0.

Referanslar

• Cebirsel Geometride Topolojik Yöntemler Friedrich Hirzebruch tarafından ISBN  3-540-58663-6
• Zariski, Oscar (1995), Cebirsel yüzeyler, Matematikte Klasikler, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58658-6, BAY  1336146