Vandermonde polinomu - Vandermonde polynomial

İçinde cebir, Vandermonde polinomu sıralı bir dizi n değişkenler ${ displaystyle X_ {1}, noktalar, X_ {n}}$, adını Alexandre-Théophile Vandermonde, polinomdur:

${ displaystyle V_ {n} = prod _ {1 leq i$

(Bazı kaynaklar ters sırayı kullanır ${ displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$işareti değiştiren ${ displaystyle { binom {n} {2}}}$ zamanlar: bu nedenle bazı boyutlarda iki formül işaret konusunda uyuşurken, diğerlerinde zıt işaretlere sahiptir.)

Aynı zamanda Vandermonde belirleyici, olduğu gibi belirleyici of Vandermonde matrisi.

Değer, terimlerin sırasına bağlıdır: bir alternatif polinom, değil simetrik polinom.

Alternatif

Vandermonde polinomunun tanımlayıcı özelliği şudur: değişen girişlerde, yani ${ displaystyle X_ {i}}$ tarafından garip permütasyon işareti değiştirirken, onları bir hatta permütasyon polinomun değerini değiştirmez - aslında, aşağıda kesin olarak yapılacağı gibi, temel alternatif polinomdur.

Dolayısıyla, sıraya bağlıdır ve iki giriş eşitse sıfırdır - bu da formülden kaynaklanır, ancak aynı zamanda değişmenin bir sonucudur: iki değişken eşitse, ikisinin de değiştirilmesi değeri değiştirmez ve değeri tersine çevirir , verimli ${ displaystyle V_ {n} = - V_ {n},}$ ve böylece ${ displaystyle V_ {n} = 0}$ (karakteristiğin 2 olmadığını varsayarsak, aksi takdirde alternatif olmak simetrik olmakla eşdeğerdir).

Tersine, Vandermonde polinomu her alternatif polinomun bir faktörüdür: yukarıda gösterildiği gibi, herhangi iki değişken eşitse alternatif bir polinom kaybolur ve bu nedenle ${ displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$ herkes için bir faktör olarak ${ displaystyle i neq j}$.

Alternatif polinomlar

Böylece, Vandermonde polinomu (birlikte simetrik polinomlar ) üretir alternatif polinomlar.

Ayrımcı

Meydanı yaygın olarak ayrımcı bazı kaynaklar Vandermonde polinomunun kendisini ayırt edici olarak adlandırsa da.

Ayırıcı (Vandermonde polinomunun karesi: ${ displaystyle Delta = V_ {n} ^ {2}}$) terimlerin sırasına bağlı değildir, çünkü ${ displaystyle (-1) ^ {2} = 1}$ve bu nedenle değişmez sırasız puan kümesi.

Biri Vandermonde polinomunu simetrik polinomların halkasına birleştirirse n değişkenler ${ displaystyle Lambda _ {n}}$, elde edilir ikinci dereceden uzantı ${ displaystyle Lambda _ {n} [V_ {n}] / langle V_ {n} ^ {2} - Delta rangle}$yüzüğü olan alternatif polinomlar.

Bir polinomun Vandermonde polinomu

Bir polinom verildiğinde, köklerinin Vandermonde polinomu, bölme alanı; önde gelen katsayılı monik olmayan bir polinom için aVandermonde polinomu şu şekilde tanımlanabilir:

${ displaystyle V_ {n} = a ^ {n-1} prod _ {1 leq i$

(baştaki bir terimle çarparak) ayrımcı ile uyumludur.

Genellemeler

Rastgele halkalar yerine, alternatif polinomları oluşturmak için farklı bir polinom kullanılır - bkz. (Romagny, 2005).

Weyl karakter formülü

(geniş bir genelleme)

Vandermonde polinomu, özel bir durum olarak düşünülebilir. Weyl karakter formülü özellikle Weyl payda formülü (durumu önemsiz temsil ) of the özel üniter grup ${ displaystyle mathrm {SU} (n)}$.

Ayrıca bakınız

• Capelli polinomu (ref )

Referanslar

• Alternatif fonksiyonların temel teoremi, Matthieu Romagny, 15 Eylül 2005