Yoneda ürünü - Yoneda product

Cebirde, Yoneda ürünü (adını Nobuo Yoneda ) eşleştirme arasında Ext grupları nın-nin modüller:

{ displaystyle operatorname {Ext} ^ {n} (M, N) otimes operatorname {Ext} ^ {m} (L, M) to operatorname {Ext} ^ {n + m} (L, N )}

neden oldu

{ displaystyle operatorname {Hom} (N, M) otimes operatorname {Hom} (M, L) to operatorname {Hom} (N, L), , f otimes g mapsto g circ f .}

Özellikle, bir eleman için ${ displaystyle xi in operatorname {Ext} ^ {n} (M, N)}$ , bir uzantı olarak düşünüldü

{ displaystyle xi: 0 rightarrow N rightarrow E_ {0} rightarrow cdots rightarrow E_ {n-1} rightarrow M rightarrow 0}

,

ve benzer şekilde

{ displaystyle rho: 0 rightarrow M rightarrow F_ {0} rightarrow cdots rightarrow F_ {m-1} rightarrow L rightarrow 0 in operatorname {Ext} ^ {m} (L, M) }

,

Yoneda (fincan) ürününü oluşturuyoruz

{ displaystyle xi smile rho: 0 rightarrow N rightarrow E_ {0} rightarrow cdots rightarrow E_ {n-1} rightarrow F_ {0} rightarrow cdots rightarrow F_ {m-1} rightarrow L rightarrow 0 in operatorname {Ext} ^ {m + n} (L, N)}

.

Orta haritanın ${ displaystyle E_ {n-1} rightarrow F_ {0}}$ verilen haritalar aracılığıyla faktörler ${ displaystyle M}$ .

Bu tanımı şunları içerecek şekilde genişletiyoruz: ${ displaystyle m, n = 0}$ her zamanki gibi kullanmak işlevsellik of ${ displaystyle operatorname {Uzantı} ^ {*} ( _, _)}$ gruplar.

Başvurular

Ext Cebirleri

Değişmeli bir halka verildiğinde ${ displaystyle R}$ ve bir modül ${ displaystyle M}$ Yoneda ürünü, gruplar üzerinde bir ürün yapısı tanımlar ${ displaystyle { text {Ext}} ^ { bullet} (M, M)}$ , nerede ${ displaystyle { text {Ext}} ^ {0} (M, M) = { text {Hom}} _ {R} (M, M)}$ genellikle değişmeyen bir halkadır. Bu, modüllerin kasnakları durumunda genelleştirilebilir. halkalı boşluk veya halkalı topolar.

Grothendieck ikiliği

Grothendieck'in yansıtmalı bir şema üzerinde tutarlı kasnakların dualite teorisinde ${ displaystyle i: X hookrightarrow mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ saf boyut ${ displaystyle r}$ cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde ${ displaystyle k}$ , bir eşleşme var

${ displaystyle { text {Ext}} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ^ {p} ({ mathcal {O}} _ {X}, { mathcal {F}}) kez { text {Ext}} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ^ {rp} ({ mathcal {F}}, omega _ {X} ^ { bullet}) to k }$

nerede ${ displaystyle omega _ {X}}$ ikileştirme kompleksi ${ displaystyle omega _ {X} = { mathcal {Ext}} _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {P}}} ^ {nr} (i _ {*} { mathcal {F} }, omega _ { mathbb {P}})}$ ve ${ displaystyle omega _ { mathbb {P}} = { mathcal {O}} _ { mathbb {P}} (- (n + 1))}$ Yoneda çifti tarafından verilen^[1].

Deformasyon teorisi

Yoneda ürünü, yolun önündeki engelleri anlamak için kullanışlıdır. haritaların deformasyonu nın-nin halkalı topoi^[2]. Örneğin, halkalı topoi bileşimi verildiğinde

${ displaystyle X xrightarrow {f} Y - S}$

ve bir ${ displaystyle S}$ -uzantı ${ displaystyle j: Y - Y '}$ nın-nin ${ displaystyle Y}$ tarafından ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$ -modül ${ displaystyle J}$ bir engelleme sınıfı var

${ displaystyle omega (f, j) { text {Ext}} ^ {2} ( mathbf {L} _ {X / Y}, f ^ {*} J)} içinde$

bir ürün olarak tanımlanabilir

${ displaystyle omega (f, j) = f ^ {*} (e (j)) cdot K (X / Y / S)}$

nerede

${ displaystyle { begin {align}} K (X / Y / S) & in { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X / Y}, mathbf {L} _ {Y / S}) f ^ {*} (e (j)) & in { text {Ext}} ^ {1} (f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / S} , f ^ {*} J) end {hizalı}}}$