Arşimet vektör uzayı emretti - Archimedean ordered vector space

Matematikte, özellikle sipariş teorisi, bir ikili ilişki ≤ bir vektör alanı X gerçek veya karmaşık sayıların üzerine denir Arşimet eğer hepsi için x içinde X, ne zaman varsa y içinde X öyle ki nx ≤ y tüm pozitif tam sayılar için no zaman zorunlu olarak x ≤ 0. Bir Arşimet (ön) sipariş vektör uzayı bir (ön)sıralı vektör uzayı Kimin emri Arşimet.[1] Bir önsıralı vektör uzayı X denir neredeyse Arşimet eğer hepsi için x içinde Xne zaman var olursa y içinde X öyle ki -n−1y ≤ x ≤ n−1tüm pozitif tamsayılar için y n, sonra x = 0.[2]

Karakterizasyonlar

Bir önsıralı vektör uzayı (X, ≤) bir sipariş birimi sen Arşimet önceden sipariş edilirse ve ancak n x ≤ sen negatif olmayan tüm tamsayılar için n ima eder x ≤ 0.[3]

Özellikleri

İzin Vermek X fasulye sıralı vektör uzayı sonlu boyutlu gerçekler üzerinde. Sonra sırası X Arşimettir ancak ve ancak pozitif konisi X altında benzersiz topoloji için kapalıdır X bir Hausdorff TVS'dir.[4]

Sipariş birimi normu

Varsayalım (X, ≤) gerçeklerin üzerindeki sıralı bir vektör uzayıdır. sipariş birimi sen Kimin emri Arşimettir ve U = [-sen, sen]. Sonra Minkowski işlevsel pU nın-nin U (tarafından tanımlanan ) adı verilen bir normdur sipariş birimi normu. Tatmin ediyor pU(sen) = 1 ve kapalı birim topu tarafından belirlenir pU eşittir [-sen, sen] (yani [-sen, sen] = \{ x içinde X : pU(x) ≤ 1 \}.[3]

Örnekler

Boşluk boşluk l∞Bir küme üzerindeki sınırlı gerçek değerli haritaların (S, maps) S noktasal sıralamada bir sipariş birimi ile sipariş edilen Arşimet sen : = 1 (yani 1 ile aynı olan işlev S). L üzerindeki sipariş birimi normu∞(S, ℝ) olağan sup norm ile aynıdır: .[3]

Örnekler

Her sipariş tamamlandı vektör kafes Arşimet emretti.[5] Sonlu boyutlu vektör kafesi n Arşimet sıralanır, ancak ve ancak izomorfik ise kanonik düzeni ile.[5] Ancak, tamamen sıralı bir vektör boyutu> 1, Arşimet sıralı olamaz.[5] Neredeyse Arşimet olan ancak Arşimet olmayan düzenli vektör uzayları vardır.

Öklid uzayı ile gerçeklerin üzerinde sözlük düzeni dır-dir değil Arşimet r(0, 1) ≤ (1, 1) her biri için r > 0 ancak (0, 1) ≠ (0, 0).[3]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Schaefer ve Wolff 1999, s. 204–214.
  2. ^ Schaefer ve Wolff 1999, s. 254.
  3. ^ a b c d Narıcı 2011, s. 139-153.
  4. ^ Schaefer ve Wolff 1999, s. 222–225.
  5. ^ a b c Schaefer ve Wolff 1999, s. 250–257.

Kaynaklar

  • Narici, Lawrence (2011). Topolojik vektör uzayları. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  1-58488-866-0. OCLC  144216834.
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları. GTM. 3. New York, NY: Springer New York Künye Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)