Öz-ikili Palatini eylemi - Self-dual Palatini action - Wikipedia

Ashtekar değişkenleri yeni bir kanonik biçimcilik olan Genel görelilik, genel göreliliğin kanonik nicelleştirilmesi için yeni umutlar uyandırdı ve sonunda döngü kuantum yerçekimi. Smolin ve diğerleri bağımsız olarak, teorinin kendi ikili formülasyonunu göz önünde bulundurarak teorinin Lagrangian bir formülasyonunun var olduğunu keşfettiler. Tetradik Palatini eylemi genel görelilik ilkesi.[1][2][3] Bu ispatlar spinorlar açısından verilmiştir. Goldberg tarafından üçlüler açısından yeni değişkenlerin tamamen gerici bir kanıtı verildi.[4] ve Henneaux ve diğerleri tarafından tetradlar açısından.[5].

Palatini eylemi

Palatini eylemi Genel görelilik bağımsız değişkenleri tetrad ve bir spin bağlantısı . Makalede çok daha fazla ayrıntı ve türevler bulunabilir. dörtlü Palatini eylemi. Spin bağlantısı, bir kovaryant türev . Uzay-zaman metriği, formülü ile tetraddan elde edilir. Eğriliği şu şekilde tanımlıyoruz:

Ricci skaler Bu eğriliğin oranı . Genel görelilik için Palatini eylemi okur

nerede . Spin bağlantısına göre varyasyon spin bağlantısının uyumluluk koşulu tarafından belirlendiğini ima eder ve bu nedenle olağan kovaryant türev olur . Dolayısıyla bağlantı, tetradların ve eğriliğin bir fonksiyonu haline gelir. eğrilik ile değiştirilir nın-nin . Sonra gerçek Ricci skaleridir . Tetrada göre varyasyon Einstein denklemini verir

Self-dual değişkenler

Bir tensörün (Anti-) öz-ikili kısımları

Tamamen antisimetri tensörü denen şeye ihtiyacımız olacak veya Levi-Civita sembolü, , buna bağlı olarak +1 veya to1'e eşittir ya çift ya da tek bir permütasyondur sırasıyla ve herhangi iki endeks aynı değeri alırsa sıfır. İç indeksleri Minkowski metriğiyle yükseltilir .

Şimdi, herhangi bir anti-simetrik tensör verildiğinde , ikilisini şu şekilde tanımlıyoruz:

Herhangi bir tensörün öz-ikili kısmı olarak tanımlanır

anti-self-dual kısım olarak tanımlanan

(hayali birimin görünümü ile ilgilidir Minkowski imzası aşağıda göreceğimiz gibi).

Tensör ayrışması

Şimdi herhangi bir anti-simetrik tensör verildiğinde , biz onu ayrıştırabiliriz

nerede ve öz-ikili ve anti-öz-ikili parçalarıdır sırasıyla. Projektörü herhangi bir tensörün (anti-) self-dual parçası üzerine tanımlayın.

Bu projektörlerin anlamı açık hale getirilebilir. Konsantre olalım ,

Sonra

Yalan ayracı

Önemli bir nesne Yalan ayracı tarafından tanımlandı

eğrilik tensöründe görünür (Denklem 1'in son iki terimine bakınız), aynı zamanda cebirsel yapıyı da tanımlar. Sonuçları aldık (aşağıda kanıtlanmıştır):

ve

Bu, bir cebiri tanımlayan Lie parantezinin iki ayrı bağımsız parçaya ayrışmasıdır. Biz yazarız

nerede yalnızca kendi ikilisi (anti-self-dual) öğelerini içerir

Öz-ikili Palatini eylemi

Self-dual kısmını tanımlıyoruz, , bağlantının gibi

daha kısaca yazılabilir

Tanımlamak öz-ikili bağlantının eğriliği olarak

Eşitlik kullanarak. 2 kendi kendine ikili bağlantının eğriliğinin, bağlantının eğriliğinin öz-ikili kısmı olduğunu görmek kolaydır,

Öz-ikili eylem

Bağlantı karmaşık olduğundan, karmaşık genel görelilik ile uğraşıyoruz ve gerçek teoriyi kurtarmak için uygun koşullar belirlenmelidir. Palatini eylemi için yapılan aynı hesaplamalar tekrar edilebilir ama şimdi öz-ikili bağlantıyla ilgili olarak . Tetrad alanını değiştirerek, kişi Einstein'ın denkleminin kendi ikili benzerini elde eder:

Öz-ikili bağlantının eğriliğinin, bağlantının eğriliğinin öz-ikili kısmı olması, 3 + 1 biçimciliğini basitleştirmeye yardımcı olur (3 + 1 biçimciliğine ayrıştırmanın ayrıntıları aşağıda verilecektir). Sonuçta ortaya çıkan Hamilton biçimciliği, bir Yang-Mills ayar teorisi (bu, temelde alışılagelmiş ADM formalizmine çöken 3 + 1 Palatini formalizminde olmaz).

Öz-dual değişkenler için ana sonuçların türetilmesi

Burada yapılan hesaplamaların sonuçları, Klasik Görelilikte Ashtekar Değişkenleri notunun 3. bölümünde bulunabilir.[6] İspat yöntemi, Bölüm II'de verilen izler. Genel Görelilik için Ashtekar Hamiltonian.[7] (Anti-) self-dual Lorentzian tensörleri için bazı sonuçlar belirlememiz gerekiyor.

Tamamen anti-simetrik tensör için kimlikler

Dan beri imzası var bunu takip eder

bunu düşünmek için

Bu tanımla aşağıdaki kimlikler elde edilebilir,

(köşeli parantezler, indeksler üzerindeki anti-simetriyi gösterir).

Self-dual tensor'un tanımı

Denklemi takip eder. 4 dualite operatörünün karesi eksi özdeşliktir,

Buradaki eksi işareti Denklemdeki eksi işaretinden kaynaklanmaktadır. 4, bu da Minkowski imzasından kaynaklanıyor. Öklid imzasını kullansaydık, yani bunun yerine olumlu bir işaret olurdu. Biz tanımlıyoruz öz-ikili olmak, ancak ve ancak

(Öklid imzasıyla öz ikilik koşulu, ). Söyle öz-ikili, gerçek ve hayali bir parça olarak yazın,

Kendi kendine ikili durumu şu terimlerle yazın: ve ,

Okuduğumuz gerçek parçaları eşitlemek

ve bu yüzden

nerede gerçek kısmı .

Önemli uzun hesaplama

Eşitlik kanıtı. 2 basit. İlk sonucu türetmekle başlıyoruz. Diğer tüm önemli formüller bundan kolayca çıkar. Lie parantezinin tanımından ve temel özdeşlik Denkleminin kullanımı ile. 3 sahibiz

Formülü veren

Önemli sonuçların elde edilmesi

Şimdi Denklem 5 ile birlikte kullanılıyor elde ederiz

Böylece sahibiz

Düşünmek

ilk adımda, Lie parantezinin anti-simetrisini kullanarak takas ettik ve ikinci adımda kullandık ve son adımda Lie parantezinin anti-simetrisini tekrar kullandık. Böylece sahibiz

Sonra

Denklemi kullandık. 6 birinci satırdan ikinci satıra gidiyor. Benzer şekilde bizde

Denklem 7'yi kullanarak bir projeksiyon tatmin ediyor , doğrudan hesaplama ile kolayca doğrulanabileceği gibi:

Bunu Denklem ile birlikte uygulamak. 8 ve Eşitlik. 9 elde ederiz

Denklemden 10 ve Eşitlik. 9 sahibiz

bunu nerede kullandık self-dual ve anti-sef-dual kısımlarının bir toplamı olarak yazılabilir, yani. . Bu şu anlama gelir:

Ana sonuçların özeti

Hep birlikte sahibiz

Bu bizim ana sonucumuzdur, yukarıda zaten Denklem olarak belirtilmiştir. 2. Ayrıca herhangi bir parantezin

sadece öz-ikili Lorentzian tensörlerine bağlı olan ve kendisi de kendinin ikili kısmı olan bir kısma ve sadece anti-self-dual Lorentzian tensörlerine bağlı olan ve anit-self-dual kısmı olan bir kısım

Ashtekar'ın Biçimciliğinin İkili Eylemden Türetilmesi

Burada verilen kanıt, derslerde verilen Jorge Pullin[8]

Palatini eylemi

Ricci tensörü nerede, , tamamen bağlantıdan inşa edildiği düşünülmektedir çerçeve alanını kullanmamak. Tetrada göre varyasyon, Einstein'ın denklemlerinin tetradlar cinsinden yazılmasını sağlar, ancak bir Ricci tensörü için tetrad ile önsel bir ilişkisi olmayan bağlantıdan inşa edilmiştir. Bağlantıya göre değişiklik bize bağlantının olağan uyumluluk koşulunu karşıladığını söyler

Bu, bağlantıyı tetrad cinsinden belirler ve biz olağan Ricci tensörünü kurtarırız.

Genel görelilik için öz-ikili eylem yukarıda verilmiştir.

nerede eğriliği öz-ikili kısmı ,

Gösterildi ki öz-ikili kısmı

İzin Vermek üç yüzeye projektör olun ve vektör alanlarını tanımlayın

ortogonal olan .

yazı

o zaman yazabiliriz

nerede kullandık ve .

Böylece eylem yazılabilir

Sahibiz . Şimdi tanımlıyoruz

Bir iç tensör öz-ikilidir ancak ve ancak

ve eğrilik verildiğinde sahip olduğumuz öz-ikili mi

Bunu elimizdeki eyleme (Denklem 12) koyarsak,

gösterdiğimiz yer . Göstergeyi seçiyoruz ve (Bunun anlamı ). yazı , bu ölçekteki . Bu nedenle,

Endeksler menzil bitti ve onları bir anda küçük harflerle gösteriyoruz. Kendi ikililiğiyle ,

nerede kullandık

Bu ima eder

Eylemde ikinci dönemde değiştiriyoruz tarafından . İhtiyacımız var

ve

elde etmek üzere

Eylem olur

kukla değişkenleri nerede değiştirdik ve birinci satırın ikinci döneminde. İkinci terimde parça bazında entegrasyon,

sınır terimini attığımız ve vektör yoğunluğundaki kovaryant türev formülünü kullandığımız yer :

İhtiyaç duyduğumuz eylemin son şekli

"Şeklinde bir terim var""dolayısıyla miktar eşlenik momentum . Dolayısıyla hemen yazabiliriz

Dinamik olmayan büyüklüklere göre eylem varyasyonu bu, dört bağlantının zaman bileşenidir, kaydırma işlevi ve atlatma işlevi kısıtlamaları ver

Göre değişen aslında Denklemdeki son kısıtı verir. 13 bölü temel değişkenlerde kısıt polinomu yapmak için yeniden ölçeklendirildi. Bağlantı yazılabilir

ve

nerede kullandık

bu nedenle . Böylece bağlantı okur

Bu sözde kiral dönüş bağlantısıdır.

Gerçeklik koşulları

Ashtekar'ın değişkenleri karmaşık olduğu için karmaşık genel görelilikle sonuçlanır. Gerçek teoriyi kurtarmak için, gerçeklik koşulları olarak bilinenleri empoze etmek gerekir. Bunlar, yoğunlaştırılmış triadın gerçek olmasını ve Ashtekar bağlantısının gerçek kısmının uyumlu spin bağlantısına eşit olmasını gerektirir.

Bu konuda daha sonra söylenecek daha çok şey var.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Samuel, Joseph (1987). "Ashtekar'ın kanonik yerçekimini yeniden formüle etmesi için lagrangian bir temel". Pramana. Springer Science and Business Media LLC. 28 (4): L429 – L432. doi:10.1007 / bf02847105. ISSN  0304-4289.
  2. ^ Jacobson, Ted; Smolin Lee (1987). "Kanonik yerçekimi için bir değişken olarak sol elle döndürme bağlantısı". Fizik Harfleri B. Elsevier BV. 196 (1): 39–42. doi:10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
  3. ^ Jacobson, T; Smolin, L (1988-04-01). "Ashtekar'ın kanonik yerçekimi formu için ortak değişken eylem". Klasik ve Kuantum Yerçekimi. IOP Yayıncılık. 5 (4): 583–594. doi:10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381.
  4. ^ Goldberg, J. N. (1988-04-15). "Genel görelilik Hamiltoniyenine üçlü yaklaşım". Fiziksel İnceleme D. Amerikan Fiziksel Derneği (APS). 37 (8): 2116–2120. doi:10.1103 / physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821.
  5. ^ Henneaux, M .; Nelson, J. E .; Schomblond, C. (1989-01-15). "Ashtekar değişkenlerinin tetrad yerçekiminden türetilmesi". Fiziksel İnceleme D. Amerikan Fiziksel Derneği (APS). 39 (2): 434–437. doi:10.1103 / physrevd.39.434. ISSN  0556-2821.
  6. ^ Klasik Genel Görelilikte Ashtekar Değişkenleri, Domenico Giulini, Springer Lecture Notes in Physics 434 (1994), 81-112, arXiv: gr-qc / 9312032
  7. ^ Genel Görelilik için Ashtekar Hamiltonian tarafından Ceddric Beny
  8. ^ Döngü uzayında düğüm teorisi ve kuantum yerçekimi: bir astar Jorge Pullin tarafından; AIP Conf.Proc.317: 141-190,1994, arXiv: hep-th / 9301028