Lemma bölme - Splitting lemma - Wikipedia

İçinde matematik ve daha spesifik olarak homolojik cebir, yarma lemma herhangi bir değişmeli kategori aşağıdaki ifadeler eşdeğer için kısa kesin dizi

  1. Sol bölme
    Orada bir morfizm t: BBir öyle ki tq ... Kimlik açık Bir, İDBir,
  2. Sağa bölünmüş
    Bir morfizm var sen: CB öyle ki ru kimlik açık mı C, İDC,
  3. Doğrudan toplam
    Bir izomorfizm var h itibaren B için doğrudan toplam nın-nin Bir ve C, öyle ki hq doğal monomorfizmdir Bir doğrudan toplamda ve doğrudan toplamın doğal izdüşümüdür C.

Bu ifadeler tutarsa, diziye a tam sırayı bölve dizinin söylendiği gibi Bölünmüş.

Sıranın bölündüğü yukarıdaki kısa kesin dizide, kişinin ilk izomorfizm teoremi, Hangi hallerde:

CB/ ker rB/q(Bir) (yani C izomorfik birlikte görüntü nın-nin r veya kokernel nın-nin q)

to:

B = q(Bir) ⊕ sen(C) ≅ BirC

ilk izomorfizm teoreminin o zaman sadece üzerine projeksiyon olduğu C.

Kategorik bir genellemedir. sıra sıfırlık teoremi (şeklinde V ≅ kerT ⊕ benT) içinde lineer Cebir.

Değişmeli gruplar kategorisinin kanıtı

3. ⇒ 1. ve 3. ⇒ 2.

İlk olarak, 3.'ün hem 1. hem de 2. anlamına geldiğini göstermek için, 3. varsayıyoruz ve t doğrudan toplamın doğal izdüşümü Birve olarak al sen doğal enjeksiyon C doğrudan toplamın içine.

1. ⇒ 3.

1.'nin 3. anlamına geldiğini kanıtlamak için, öncelikle B sette (ker t + ben q). Bu hepimiz için takip ediyor b içinde B, b = (bqt(b)) + qt(b); qt(b) belli ki içinde ben q, ve bqt(b) içinde ker t, dan beri

t(bqt(b)) = t(b) − tqt(b) = t(b) − (tq)t(b) = t(b) − t(b) = 0.

Sonra, kesişme noktası ben q ve ker t 0, çünkü varsa a içinde Bir öyle ki q(a) = b, ve t(b) = 0, sonra 0 = tq(a) = a; ve bu nedenle, b = 0.

Bu bunu kanıtlıyor B doğrudan toplamı ben q ve ker t. Yani herkes için b içinde B, b bazıları tarafından benzersiz bir şekilde tanımlanabilir a içinde Bir, k içinde ker t, öyle ki b = q(a) + k.

Kesinlikle ker r = im q. Alt sekans BC ⟶ 0 ima ediyor ki r üzerine; bu nedenle herhangi biri için c içinde C biraz var b = q(a) + k öyle ki c = r(b) = r(q(a) + k) = r(k). Bu nedenle, herhangi biri için c içinde Cvar k kerte t öyle ki c = r(k), ve r(ker t) = C.

Eğer r(k) = 0, sonra k içinde ben q; kesişiminden beri ben q ve ker t = 0, sonra k = 0. Bu nedenle, morfizmin kısıtlanması r: ker tC bir izomorfizmdir; ve ker t izomorfiktir C.

En sonunda, ben q izomorfiktir Bir kesinliği nedeniyle 0 ⟶ BirB; yani B doğrudan toplamına izomorfiktir Bir ve C, kanıtlayan (3).

2. ⇒ 3.

2.'nin 3. anlamına geldiğini göstermek için benzer bir argüman izliyoruz. Herhangi bir üyesi B sette ker r + im sen; o zamandan beri b içinde B, b = (bur(b)) + ur(b)içinde olan ker r + im sen. Kesişme noktası ker r ve ben sen dır-dir 0çünkü eğer r(b) = 0 ve sen(c) = b, sonra 0 = ru(c) = c.

Kesinlikle, ben q = ker r, dan beri q bir enjeksiyon ben q izomorfiktir Bir, yani Bir izomorfiktir ker r. Dan beri ru bir bijection, sen bir enjeksiyondur ve dolayısıyla ben sen izomorfiktir C. Yani B yine doğrudan toplamıdır Bir ve C.

Bir alternatif "soyut saçmalık " bölünen lemmanın kanıtı tamamen kategori teorik terimlerle formüle edilebilir.

Değişken olmayan gruplar

Burada belirtilen formda, bölünen lemma tam olarak tutmuyor grup kategorisi, bu bir değişmeli kategori değildir.

Kısmen doğru

Kısmen doğrudur: eğer kısa bir tam grup dizisi sola bölünmüşse veya doğrudan bir toplamsa (1. veya 3.), o zaman tüm koşullar geçerli olur. Doğrudan bir meblağ için, zirvelerden enjekte edilebileceği veya zirvelere yansıtılabileceği için bu açıktır. Sola bölünmüş bir dizi için harita t × r: BBir × C bir izomorfizm verir, bu yüzden B doğrudan bir toplamdır (3.) ve böylece izomorfizmi tersine çevirir ve doğal enjeksiyonla oluşturur CBir × C enjeksiyon yapar CB bölme r (2.).

Bununla birlikte, kısa tam bir grup dizisi sağa bölünmüşse (2.), bu durumda sola bölünme veya doğrudan bir toplam olması gerekmez (ne 1. ne de 3. takip eder): sorun, sağdaki bölünmenin görüntüsünün gerekli olmamasıdır. Normal olmak. Bu durumda doğru olan şudur: B bir yarı yönlü ürün genel olarak doğrudan bir ürün olmasa da.

Karşı örnek

Bir karşı örnek oluşturmak için, değişmeli olmayan en küçük grubu alın BS3, üç harf üzerinde simetrik grup. İzin Vermek Bir alternatif alt grubu belirtin ve C = B/Bir ≅ {±1}. İzin Vermek q ve r dahil etme haritasını ve işaret sırasıyla harita, böylece

kısa ve kesin bir dizidir. 3. başarısız, çünkü S3 değişmeli değil. Ancak 2. tutar: tanımlayabiliriz sen: CB Jeneratörü herhangi bir iki döngüye eşleyerek. 1. başarısız olan eksiksizlik için not: herhangi bir harita t: BBir her iki döngüde bir kimliğe eşlenmelidir çünkü haritanın bir grup homomorfizmi iki çevrimin sırası 2 iken, bu da A'daki kimlik elemanı dışındaki elemanların sırasına bölünemeyecek şekilde 3'tür. Bir alternatif alt grubudur S3veya 3. sıranın döngüsel grubu. Ancak her permütasyon, iki döngünün bir ürünüdür, bu nedenle t önemsiz haritadır, bu nedenle tq: BirBir önemsiz haritadır, kimlik değil.

Referanslar

  • Saunders Mac Lane: Homoloji. 1975 baskısının yeniden basımı, Springer Classics in Mathematics, ISBN  3-540-58662-8, s. 16
  • Allen Hatcher: Cebirsel Topoloji. 2002, Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0, s. 147